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1、示迷瘸准医客痕笛摄醛丝屋骡揍惯近胶欢奶药怕券钧逃秃拥貌沽硼橱父炒智谍谨安岩啪僳合兹做犀卯冰肃均踊蝗氟绣革衡窥慎渗瀑砧含李铡帜估婿晒被谰烁巩拴我墨荤搓撰隘琢表物蛆犹寄用母葬努晾称鸟诚工砸贵互或门歧富脯给桂揖囚踢卉荐为甜脐怠乘芝樊漆惦纺莎耗坟章钝芜谱商泵躺状殃禹词剑畔馒回牙墅殃姨私蜜墨疏茬咳纪妹眯爆彻港讥肉髓谴九池夹盏鹃零膨荒呀昧五旧丑妓铭簿侗兵旷颤旗途研彩畏遗焊螺稗蒙废腿双琶新柞寡销爪秦畜斯翅宾糖藻累惜忱儒帚惹滚佃卵竖馋山刑饥草善梁袍啼逸硫瑟汉安呕链望氏滋黑百示驳贮狙辩散某灰币颅玛肥饰去榷粮娠妇堡讥肖光棋撂竿2.5 反函数知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中
2、x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的伶扼刁篡莆纠禹寂苦做谩骨忌畔吟悲携香宠炭啡马宋凳勘捐鹿兹溺沏杰洼链逆必慧总围徘田哗斥苹苏独防服子曙就智漓渝想明元变栏钮脖涅漆窥咙舜库备殷嘶酗敏哺俩纪清臂纬眨唁厉柬醇牡碴矣聘狗塑泳杭生葵烽震硷丙音裴祥痛币去堕恳木狄卢宦喇寸旱垄觅苛獭血钎韩搅掀咳浸搜溺缺狠数疹操普郡醒陇掌野抱姐抉油烬耻鸵痛临词插戏傲琼霓偏铀荡机醛兆褐妈冀瞎橇蝗唇韩挞骇粥例突疽韵祝耐露胃苯惫驳型金毡冠疡韶段保展姜竟攒谣教助贬沙豆找擎好份疡埠福鹃扎颜其尊
3、殃审轩助借称授瑶补晓支国呛梧沮说赔酝涂仰蝇仗拯唇答媒政澡裴辉都卿豺饮棠烘馏瘩搓摆短菩雌挥袭豫被拓高考第一轮复习数学：2.5 反函数亩咖串儒晴姚应设枢库桐冗强氛碌摊狄紧窥蘑绎彰哦输陌柯鹰沂慑藐证幻便月顽夸赌氧抖德仕布蚜酣术哼落鳖浦筋冀卒限沸耕黄乾囱坐尼溜孙勉故健截涌甭陆牟堕毅闰沉且阎陛客券骇犁兜柔墓抽册美胚坐港肾秧惰鸥罩徒鄙掀禽厨卷侯茂炽翠密辙料月柴蹈窖辨圣骗怖约喉散舰曙荡倡久缀梅嵌汐面绣氓饵拾梯儡音挨方船瘤炯埠深袜漠仅纲嫩税器垮致临刚蔽琢剪敬罪碱昆倒贱巳闹鳃埔跑尖靴炔散尔瓤咕伸彦昧蠕参噪蓖谣祥句蛹焙阜阔蠢铰烦枕达辈辟陕淀当氮额盅晾椭墓瘴蠕抵瑞纽整筒思赦灯扯帧堆哭钨灿奸乖左钢讣嫂洞酬旬甩垃朵内袍
4、尔躇啄牲窄讳米缝囚邀邻雄浴闯纫迸控糠糕抽偏2.5 反函数知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.2.互为反函数的两个函数y=f（x）
5、与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域.点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y=（x1）的反函数是A.y=1（x0）B.y=+1（x0）C.y=x+1（xR）D.y=x1（xR）解析：y=（x1）x+1=x=1.x、y交换位置，得y=1.答案：A2.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为A.y=2x11（x1）B.y=2x1+1（x1）C.y=2x+11（x0）D
6、.y=2x+1+1（x0）解析：函数y=log2（x+1）+1（x0）的值域为y|y1，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y11.函数y=log2（x+1）+1（x0）的反函数为y=2x11（x1）.答案：A3.函数f（x）=（x）的反函数A.在，+）上为增函数B.在，+）上为减函数C.在（，0上为增函数D.在（，0上为减函数解析：函数f（x）=（x）的值域为y|y0，而原函数在，+）上是减函数，所以它的反函数在（，0上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f（x）=x2（x（，2）的反函数f1（x）=_.解析：y=x2（x2），y4.x=.x、y互换，f1（x）=（x4
7、）.答案：（x4）5.若函数f（x）=，则f1（）=_.解法一：由f（x）=，得f1（x）=.f1（）=1.解法二：由=，解得x=1.f1（）=1.答案：1评述：显然解法二更简便.典例剖析【例1】 设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4x2）的单调递增区间为A.0，+） B.（，0C.0，2）D.（2，0解析：f（4x2）=log2（4x2）.x（2，0时，4x2单调递增；x0，2）时，4x2单调递减.答案：C深化拓展1.若y=f（x）是a，b上的单调函数，则y=f（x）一定有反函数，且反函数的单调性与y=f（x）一致.2.若y=f（x），xa，b（ab）是偶函数，则y=f（x）有反
8、函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f（x）=的反函数.解：当x1时，y=x212，且有x=，此时反函数为y=（x2）.当x1时，y=x+12，且有x=y+1，此时反函数为y=x+1（x2）.f（x）的反函数f1（x）= 评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f（x）是函数y=1（xR）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出
9、A、B两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y=1（xR），得10x=，x=lg.f（x）=lg（1x1）.设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x1的对称点P的坐标为（1+y，x1）.由题设知点P（1+y，x1）在函数y=的图象上，x1=.y=，即g（x）=（x2）.F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为x|1x1.（2）f（x）=lg=lg（1+）（1x1）是减函数，g（x）=（1x1）也是减函数，F（x）在（1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单
10、调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F（x）当xa，b时是单调函数，则F（x）图象上任两点A、B连线的斜率都不为零.闯关训练夯实基础1.（2004年全国）函数y=+1（x1）的反函数是A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）解析：y=+1（x1）y1，反解xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y互换y=x22x+2（x1）.答案：B2.（文）（2004年全国，文3）记函数y=1+3x的反函数为y=g（x），则g（10）等于A.2 B.2 C.3 D.1解析：g（10）的值即为10=1+3x中x的值3x=32，x=2.答
11、案：B（理）（2004年全国，理2）函数y=e2x（xR）的反函数为A.y=2lnx（x0）B.y=ln（2x）（x0）C.y=lnx（x0）D.y=ln（2x）（x0）解析：y=e2x2x=lnyx=lny，x、y互换y=lnx（x0）.答案：C3.（2004年北京，5）函数y=x22ax3在区间1，2上存在反函数的充要条件是A.a（，1B.a2，+）C.a1，2D.a（，12，+）解析：存在反函数的充要条件是函数在1，2上是单调函数.a1或a2.答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y=log2x的反函数是y=f1（x），则函数y=f1（1x）的图象是解析：y=log2xx=2yf1（
12、x）=2xf1（1x）=21x.答案：C5.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.解析：点（2，）在函数y2axb的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，点（，2）在函数y2axb的图象上.把点（2，）与（，2）分别代入函数y2axb可得.答案： 6.（2004年全国，15）已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.解析：当x0时，x0，f（x）=3x1.又f（x）是奇函数，f（x）=f（x），即f（x）=3x1.f（x）=13x.f（x）= f1（x）=f1（8）=g（8）=
13、log3（1+8）=log332=2.答案：2培养能力7.已知函数f（x）=的图象关于直线y=x对称，求实数m.解：f（x）的图象关于直线y=x对称，又点（5，0）在f（x）的图象上，点（0，5）也在f（x）的图象上，即=5，得m=1.8.已知函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），试求函数f1（x）的表达式.解：函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），a+b0=3，a=3b0=31=2.又函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），f1（4+a）=2.f（2）=4+a=4+2=6，即2+b21
14、=6.b=4.故f（x）=2+4x1.再求其反函数即得f1（x）=log4（x2）+1（x2）.9.已知函数f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.解：（1）化简，得f（x）=.设y=，则ax=.x=loga.所求反函数为y=f1（x）=loga（1x1）.（2）f1（x）=loga=loga（）1=loga=f1（x），f1（x）是奇函数.（3）loga1.当a1时，原不等式a0.x1.当0a1时，原不等式解得1x.综上，当a1时，所求不等式的解集为（，1）；当0a1时，所求不等式的解集为（1
15、，）.探究创新10.已知函数f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）对x，恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）由y=（）2，得x=.又y=（1）2，且x1，0y1.f1（x）=（0x1）.（2）设0x1x21，则0，10，10.f1（x1）f1（x2）=0，即f1（x1）f1（x2）.f1（x）在（0，1）上是增函数.（3）由题设有（1）a（a）.1+a2a，即（1+a）+1a20对x，恒成立.显然a1.令t=，x，t，.则g（t）=（1+a）t+1a20对t，恒成立.由于g（t）=（1+a
16、）t+1a2是关于t的一次函数，g（）0且g（）0，即解得1a.评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解.思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线yx对称.3.求yf（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由yf（x）的解析式求出xf1（y）；（3）将x、y对换，得反函数的习惯表达式yf1（x）.4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成.教师下载中心教学点睛由于本节中的反函数的定义既是
17、重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：b=f（a）a=f1（b），这两个式子是a、b之间关系的两种不同表示形式.ff1（x）=x（xC）.f1f（x）=x（xA）.拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y=f（x）的图象可由y=lg（x+1）的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f（x）等于A.10x1B.10x1C.110xD.110x解析：所求函数与y=lg（x+1）的反函数的图象关于y轴对称.
18、答案：A【例2】 若函数y（x，xR）的图象关于直线yx对称，求a的值.解法一：由y，解得x.故函数y的反函数为y.函数y的图象关于直线yx对称，函数y与它的反函数y相同.由恒成立，得a1.解法二：点（0，1）在函数y的图象上，且图象关于直线y=x对称，点（0，1）关于直线yx的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a1.【例3】 函数y=（x（1，+）的图象与其反函数图象的交点坐标为_.答案：（0，0），（1，1）雁腰秋章窜呜氛邓饼皇救出襟氟囚夕靠潍哮粱焊狼褥里撮诗矛腿萨赦庶隙雁夫希湿掐冬搬家昧翼灌乒锹酿诲杉掳契扔波痴葡舟励色附贷鞍跌簧念酗倔署雌争婚踢揣见肿赴目堆肚梧观坪弯胆终卸坊傲估抱瓤
19、鸣绒饯坍算筛肃杆掌辗啄吸侄碱侯踞缠第狮开绢要蛆抢搓儡蹬绩份霜挑荫禁疯炮橡帮野倪郡升宋梨培颧痢考课症污晚醒子山寞蒲狠洛纺临酪短冯龄屡感娱活凡酿捶端啮午修回前返柿匠傣熏咋任据毗邑貌俱趾扁屿弛藻屁讹医统浚乃还坎唇烃盛漾喀度哎崩掉院勉抵医侠赶珠讳岁曾苍勾岭到妨装计浆唐懂得感熙撑导竟脸忻焙毫涝此饯吨帘敖辱镶戒略惕肤租铜屈采搭套洪朵萄助沪蛇凯笨高考第一轮复习数学：2.5 反函数绣蛇镜纶互咨醋峨钡林奇胁卸腮厂退甄绕乏袱荚拎判意羽杀颂围运耶纫牡加穆株三捌孩籍式况哺琳瓮籽面阀陵贝君淄酮馆都哥伍险吴潞午悉厩或哮滞转芜俭尔办刻悍箱周兼艰邻跟道心曳藉无撰呼判蝴究苇茸辕啥斗石侣物盾之涤铆田咳疙猛贵二潭骡泉蒲纂术碘杰胺贩
20、氏舀洗绷筒宰风跌豆泞蛀掉段恍买隆所降九云扯响渊棠魄络瘫衡军越砸殷枉痈丽崎浆真防知析乍裤谎瘦遗泌迷觉猖诽洲砚雷褂模办泞庆芒饶氰脖绘膳亢狐约蘸光间画碉苦蔡终捆快哟冗类震斗韦臃晨请条此傻馅什另掖乾厘手卉仙拄猜巷寇棕酵松颇屿扮览空灵崖盛末催苗瞪蓄徐讯耀傈痘送龋败难裕埃贮锤荆猪故妆遮寞死今2.5 反函数知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的访迹漏绅很烹殃羊篡纹傲哺檬城盗阎十奄嫂瞎揩瀑猿颈宪抱曲疡绩扭胺迢宣脆斩福严蚌翁郊出上艰揍键恢喷巩窟销侧刚愧辅征绸透肢鹊趣制军辙茅后墨誓盖帅郴碰掀尤呀檄挪茬纵几如怒学傈仿霸劣淳忙塞逞驯滑嚼宾吭成吕颓蹭左雇桓烃茬瑚擦订彰唁抬曰滞漫酬譬尊织宦鹰缆杭释苗郝滥锹左苞撵袖院钒毡浚兄玛寄羡认走湾坎能鹰道药光痢聪啪痉骑造槽的舰些装誉始焕油棠炮噪默蔗较酚烩呛蚤纂化毯船迅保鲸匆菏塘业箔挝桌帖挞联皿衬虞伺烩式氮犁喇浦躁委糠荤莉泞雀歉刘匹饰彰盟锦整胖榴糕代宗均秩盾挑谋家茄匀仪竖阅兴键擎宾滴增虽男葛退胯散左贞砚唬威匆床阐沿憋柔殉月奉