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1、“黄金代换”及其应用在不考虑天体自转的前提下,物体在天体表面附近的重力大小可以认为等于天体对物体的万有引力大小.设天体表面一个物体质量为m,天体质量为M,g为天体表面的重力加速度,R为天体半径.则=mg 消去等式两边的m得到:GM=gR2 该式称为“黄金代换”.其中G为万有引力常量,R为天体半径,M为天体质量,g为天体表面的重力加速度. 在一般讨论和计算时可认为,在地球表面上的物体受到的重力和地球对它的万有引力差别很小,由于在解答有关天体运动问题时使用率相当高,人们习惯称之为黄金代换式.本文简单介绍一下它的有关应用. 一、推导第一宇宙速度 设质量为m的人造地球卫星在近地表面轨道绕行的速度为V,
2、则该卫星靠地球对它的引力提供其圆周运动的向心力,若设地球质量为M,半径为R,万有引力恒量为G,则有m=,将黄金代换式g=代入上式中可得V=,它是地球表面卫星的最小发射速度和最大环绕速度. 天体运动本身比较复杂,中学物理只要求学生对天体运动有一定的认识,能够定量计算理想状态下的天体运动.因此,黄金代换在理想状态下的天体运动计算就显得很珍贵,可以在有限的已知量中计算看似毫无关系的其他物理量. 二、确定其他天体的半径 例1:据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍,一个在地球表面重量为600N的人在这个行星表面的重量将变为960N.由此可推知,该行星的半径与地球半径
3、之比约为() A. 0.5 B. 2C. 3.2D. 4 解析:由题意知g=1.6g,由黄金代换g=得=,解得R=2R,故选B. 三、估算人造卫星的最小周期 设人造卫星在半径为r的轨道上运行的周期为T,则有G=mr()2,得T=2?仔,将黄金代换式g=,有R=r代入其中得最小周期Tmin=2?仔=5078s. 四、确定卫星的高度 例2:有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面上的周期为T0,当气球停在某一高度时,测得该单摆的周期为T,若把地球视为质量均匀分布的半径为R的球体,则气球此时离海平面的高度h= . 解析:设离海平面h高处的重力加速度为g,由黄金代换g=得g
4、R=g(R+h)2.又单摆的周期为T=2?仔,同一单摆在不同高度处有T2g=T02g,整理得=,即h=. 五、确定同步卫星的高度 地球同步卫星相对于地面是静止的,与地球自转具有相同的周期.由于它是靠万有引力提供其圆周运动的向心力,故只能定位于赤道上空某一特定高度处.若设其距地心的高度为r,地球自转角速度为,则有G=mr2,将黄金代换式g=有=代入其中得r=,代入相关数据得r=4.24107m,于是卫星距地的高度为h=r-R=3.6107m. 六、研究卫星的发射和回收 例3:实践证明飞船的运动也遵从开普勒三定律,实施“神舟六号”飞船的主操作手卢志峰完成操作后,飞船速度降低并转移到与地球表面相切的
5、椭圆轨道运动.40多分钟后,飞船成功落地.设飞船先在半径为r的圆轨道绕地运动,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,若不计空气阻力,试给出飞船在返回时运行时间的表达式? 解析:飞船进入大气层后,在不考虑空气阻力的情况下沿椭圆轨道着陆.设飞船在椭圆轨道上的运行周期为T0,运用开普勒第三定律得 =. 万有引力提供向心力G=mr,而飞船在转移轨道只运动了上图中实线这半个周期,因此t=,再联立黄金代换式g=G可得t=. 天体运动是中学物理综合性很强的一部分内容,综合了力学、运动学的相关知识,如果考虑到地磁场的影响,那就还有电磁学的内容.由于天体运动只能通过模拟,或者展开想象来显现物理过程和现象,这对中学生已经就是一个难点。掌握天体运动,对其他物理知识也能起到很好的巩固.q