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1、三角函数中常用的数学思想与方法举例 数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力的催化剂,是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用的过程中。高考对数学思想方法的考查是以知识为依托,以能力为目的的。为此我们在新课的学习过程中,要重视对数学思想和方法的掌握。下面仅就“三角函数”一章的学习中常见的数学思想与方法举例说明。 1数形结合思想 例1:(2005年全国卷)设0x0),则+=,解得x=2 tan=2 tan=- ,故选A 例3:已知x2+y2=3,求u=+7的最小值。 解析:运用方程转换到三角中来。 x2+y2=3,令x=cosa,y=sina(-3转化与化归的
2、思想 例4:求函数y=(3-sinx)(3-cosx)的最值 解析:展开函数表达式得y=sinxcosx-3(sinx+cosx)+9,观察到等式右边是关于sinx.cosx与sinx+cosx的三角式,可设t=sinx+cosx,则原问题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 设t=sinx+cosx,则t=sin(x+), t-,而sinx.cosx=(sinx+cosx)2-1=(t2-1),于是y=f(t)=(t2-1)-3t+9=(t-3)2+4 原问题化归为求二次函数f(t)=(t-3)2+4在t-,上的最值问题,由于f(t)=(t-3)2+4在t-,上单调递减,故对任意的t-,总有f()f(t)f(-)即-3f(t)+3 函数y=(3-sinx)(3-cosx)的最大值是+3,最小值是-3 4分类整合的思想 例5:求函数y=sin2x-2acosx-a (a为定值)的最大值。 解析:通过构造完全平方形式求最值,但需对a分类讨论。 y=1-cos2x-2acosx-a=-(cosx+a)2+a2-a+1 当a-1时,ymax=-(-1+a)2+a2-a+1=a