一种基于粗糙集和层次分析法的综合评价方法研究.doc

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1、一种基于粗糙集和层次分析法的综合评价方法研究doi:10.3969/j.issn.1001-3695.2010.07.023 Research on comprehensive evaluation method based on rough set and AHP YE Jun, WANG Lei (Dept. of Computer Science & Technology, Nanchang Institute ofTechnology,Nanchang 330099, China) Abstract:In order to improve the lack of accuracy of

2、 evaluation result caused by the judgment matrix belonged to analytic hierarchy process (for short,AHP),constructed an objective judgment matrix indicating relative dependence among attributes by using definition of attribute dependence in rough set theory.Then proposed a new evaluation method that

3、make decision by calculating the weight of the combinatorial judgment matrix which was formed by combining the objective judgment matrix and the subjective judgment matrix of AHP.Finally,an example suggests the higher decision accuracy, feasibility and effectiveness of this comprehensive method.More

4、over,it is easy to be promoted in practical application. Key words:analytic hierarchy process(AHP); rough set; judgment matrix;decision 0 引言 层次分析法是一种常用的定性与定量相结合的决策与评价方法1。权重分配在此法中是至关重要的,它反映了各因素在决策过程中的重要程度,因而能直接影响决策结果的准确性。权重的计算依赖于所构造的判断矩阵,人们在构造判断矩阵时,通常是采用标度与专家打分法来确定判断矩阵,由专家给出各指标的重要性2。此方法在一定程度上能反映客观的实际

5、情况,但仅凭经验得出的结果往往具有较大程度的主观性,有时会导致评价结果的准确度不高。一些研究者试图利用粗糙集理论来优化层次分析法36,其中有的通过粗糙集理论来降低层次分析模型中矩阵的维数,有效地改善了复杂系统处理的复杂度,但并没有提高决策精度;有的则通过建立一种通过粗糙集方法确定的客观权重和通过层次分析法确定的主观权重相结合的组合权重模型,利用组合权重的思想来提升决策的准确度。本文探讨一种利用粗糙集中属性约简的思想来确定各属性的重要程度,通过对属性的依赖度进行计算, 找出属性间相对依赖的判断矩阵,然后与由层次分析法得到的判断矩阵组合构成新的判断矩阵,再计算新判断矩阵的权重,并以此进行决策的新方

6、法。 1 层次分析方法1,7 层次分析法的基本思想是把复杂问题分解为若干层次,以人们的经验判断为基础,采用定性、定量相结合的方法确定权重。其实质是利用19的整数及其倒数作为标度构造判断矩阵。用层次分析法处理问题需经过以下四个步骤: a)建立层次结构模型。将所包含的因素分组,每一组作为一个层次,按照目标层、准则层和方案层的形式排列起来,各层均由若干个因素构成。 b)构造判断矩阵。判断矩阵是针对上一层次某因素而言,本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。 c)层次单排序及一致性检验。它是根据判断矩阵计算对于上一层某因素而言,本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。 d)层次总排序及一致性检验。它

7、是同一层次所有因素对最高层相对重要性的排序权值, 通过一致性检验后得到择优结果。判断矩阵表示的是针对上一层次某因素而言,本层次与之有关的各因素之间的相对重要性,通常是采用两两比较得到。例如,要比较某一层n个因素C1,C2,Cn对上一层因素O的影响。采用的方法是:每次取两个因素Ci和Cj比较其对目标因素O的影响,并用aij表示,全部比较的结果用成对比较矩阵表示,即 A=(aij)nn,aij0,aji=1/aij(或aijaji=1) 由于层次分析法中的矩阵A通常是由专家经验确定的,本文称A为主观判断矩阵。 2 粗糙集相关理论与客观判断矩阵的构造 粗糙集理论是一种新的处理模糊和不确定性知识的数学

8、工具,其中一个重要思想是在保持分类能力不变的前提下,可以对系统进行知识约简8。在分类规则中用户指定数据集中某个或多个属性作为分类的决策属性,根据这些属性的不同取值,将数据分成不同的类别,发现并获取分类规则。 2.1 粗糙集知识表示与知识约简中的基本概念812 定义1 给定知识库K=(U,R),对于每个子集XU,等价关系RIND(K) ,称R*(X)=YiU/IND(R)|YiX为X的R下近似集。 定义2 给定知识库K=(U,R),对于每个子集XU,等价关系RIND(K),称R*(X)=YiU/IND(R)|YiX为X的R上近似集。 上近似和下近似的差称做X的R-边界集,表示为BNR(X)=R*

9、(X)-R*(X)。X的R-正区记做POSR(X)=R*(X),它是一些个体元素的集合,这些元素完全属于X的?稍薄? 定义3 信息系统S=(U,D,V,f)。其中:U是一个非空对象集合;C和D是对象的属性集合,即条件属性C与决策属性D;V是属性值的集合;f是一个信息函数,即f :U( CD)V ,它指定了U中每个对象的属性值。 定义4 两个属性集C与D之间的依赖程度r(C,D),定义为r(C,D)=|POSC(D)|/|U|。其中:POSC(D)是D的C正区域,|U|表示整个集合对象的个数。 定义5 属性aC,属性a关于D的重要程度定义为d(a,C,D)=r(C,D)-r(C-a,D),其中r

10、(C-a,D)表示在C中缺少属性a后,条件属性对决策属性的重要程度。 2.2 客观判断矩阵的构造 设有信息系统S=(U,D,V,f)。其中条件属性为C,决策属性为D。C中有n个属性a1,a2,an,根据知识库或评价样本,考察所有条件属性将样本划分为决策类的分类能力, 并由决策属性对条件属性的依赖度r(C,D)表示。然后去掉条件属性ai后,重新考察分类情况,得到属性ai的重要度r(C,D)-r(C-ai,D)。 记C为专家对决策因素(准则层的属性或方案层的方案)的评价,ai为专家对决策因素i的评价,ai对决策属性D的重要性可由上述定义4和5计算得出,即 d(ai,C,D)=r(C,D)-r(C-

11、ai,D)=|POSC(D)|-|POSC-ai(D)|U| 采用两两比较的方法,可以构造类似于层次分析法中的判断矩阵: bij=d(ai,C,D)d(aj,C,D)=|POSC(D)|-|POSC-ai(D)|POSC(D)|-|POSC-aj(D)| 即B=(bij)nn,bij0。 利用属性重要度计算得到的判断矩阵在很大程度上消除了主观因素的影响,真实地反映了客观事物属性间固有的联系,因此,本文称之为客观判断矩阵。 3 组合判断矩阵的构造 设S=(U,D,V,f)是一个信息系统,A是由层次分析法得出的主观判断矩阵,B是由粗糙集理论得到的客观判断矩阵,C为两者的组合矩阵。 A=(aij)n

12、n,aij0;B=(bij)nn,bij0 建立最优化模型: minu(C-A)2/2)+(1-u)(C-B)2/2)0u1,C=(cij)nn,cij0(1) 定理13 最优化模型式(1)在可行域上有惟一解,且解为 C=uA+(1-u)B=u(aij)nn+(1-u)(bij)nn(2) 证明 作Lagrange函数: L(C,)=u(C-A)2/2)+(1-u)(C-B)2/2)+?(C-1),则有L(WCi,)=u(WCi-WAi)2/2)+(1-u)(WCi-WBi)2/2)+(WCi-1)。其中WAi ,WBi ,WCi分别是矩阵A、B和C作归一化处理后的权向量,且有 ni=1WAi

13、=ni=1WBi=ni=1WCi=1(i=1,2,3,m) 令L/C=0,ni=1WCi-1=0,则得方程组: u(WCi-WAi)+(1-u)(WCi-WBi)=0 ni=1WCi-1=0 解方程组得:WCi=uWAi+(1-u)WBi,因而有C=uA+(1-u)B=u(aij)nn+(1-u)(bij)nn,从而定理得证。 为此,可以通过计算组合矩阵的权重来进行决策,这样既可以避免过份依赖主观因素,又可以避免过份依赖客观因素的现象,从而提高决策精度。 4 应用算例 本算例以选择家用小汽车为例说明本文提出的综合评价方法的实际应用。通常人们选择各种型号小汽车时,要考虑小汽车的主要因素有价格(a

14、1)、动力(a2)、耗油(a3)、安全(a4)、人性化(a5)等。求出各因素所占权重的大小是作出决策的关键。 首先,运用层次分析法来求各因素的权重。 根据层次分析法,对准则层的五个因素a1,a2,a3,a4,a5相对于目标层进行两两比较,得到判断矩阵A。 A=1311/31 1/3111/51/3 1111/33 35311 331/311 利用和法求得权重:W=(0.156,0.080,0.203,0.339,0.223),依次排序为0.339、0.223、0.203、0.156、0.080。因此,人们选择小汽车时,首先考虑的是安全(0.339),其次是耗油量(0.223)、人性化(0.20

15、3)、价格(0.156),动力则是最后考虑的因素(0.080)。 在上述基础上构造组合判断矩阵来计算权重并得出评判结果。 a)先构造客观判断矩阵,分别用a1,a2,a3,a4,a5作为条件属性C(准则层),f表示决策属性,对应着决策属性D(目标层)。各种型号小汽车性能参数比从生产厂家和国家公布的的相关数据中得到,其值域为1,2,3,各属性值的含义分别对应着好(高)、中、一般三个档次,这里选取11种型号的小汽车作为对象集U,决策表如表1所示。 表1 选择小汽车决策表 Ua1a2a3a4a5fUa1a2a3a4a5f 11113217211322 21313228322112 3122111923

16、2232 423232210232333 523332311333223 6231321 记U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,则可得到正域运算结果:POSC(D)=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,其中C=a1,a2,a3,a4,a5,D=f。计算得到: POSC-a1(D)=4,5,9,10,11 POSC-a2(D)=3,4,5,8,9,10,11 POSC-a3(D)=1,2,3,7,8,9,10,11 POSC-a4(D)=1,2,3,4,5,6,7,8,11 POSC-a5(D)=1,2,3,5,6,7,8,9,11 从上述结果可知,POSC(D)PO

17、SC-ai(D)(i=1,2,3,4,5),故没有任何一个属性是可以约简的。因此,根据定义4和5,计算出属性a1,a2,a3,a4,a5对决策属性D的重要度值分别为d(a1,C,D)=6/11,d(a2,C,D)=4/11,d(a3,C,D)=3/11,d(a4,C,D)=2/11,d(a5,C,D)=2/11。 b)通过对各属性重要程度值进行两两比较得到客观判断矩阵B。 B=12/31/21/31/3 3/213/41/21/2 24/312/32/3 323/211 323/211 c)根据定理1,C=uA+(1-u)B(0u1)构造组合判断矩阵,当决策倾向专家经验时,u要满足0.5u1,

18、当决策倾向客观数据时,要满足0u0.5。这里u取0.38,使得主、客观矩阵系数比为黄金分割数,则C=0.38A+0.62B,矩阵元素为cij=0.38aij+0.62bij,可得到组合判断矩阵C。 C=1.0001.5530.6900.3330.587 1.0571.0000.8450.3860.437 1.6201.2071.0000.5401.553 3.0003.1402.0701.0001.000 3.0002.3801.0571.0001.000 d)对构造的判断矩阵C进行权重计算。同样采用和法计算得到矩阵的权重向量W=(0.124,0.116,0.198,0.307,0.255),依次排序为:0.307,0.255,0.198,0.124,0.116。人们选择小汽车时,首先考虑的是安全(0.307),其次是耗油量(0.255),人性化(0.198),价格(0.124),动力是最后考虑的因素(0.116),得到的权重排序与层次分析法的完全一样,但权重之间差值缩小了。