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1、一道不等式题的解法探讨 在上高二不等式一章时，给同学们出了这样一道题：“x,yR+,1x+4y=1，求x+y的最小值。”，有同学这样解：Qx,yR+,1x+4y=11=1x+4y24xy xy16又Qx+y2xy216=8x+y的最小值为8 上述解法看似正确，但同学们在应用均值不等式时忘记了必备的条件.“一正、二定、三取等”，特别是忘记了“取等号”成立的条件。显然，上述解法等号不能同时成立，此同学的解法显然错误。但此题解法很多，现与大家一起探讨。 解法（一）“1”的应用 Qx,yR+且1x+1y=1,x+y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy5+2yx4xy=9当且仅当yx+4xy时，
2、即4x2=y2即2x=y时等号成立。 又1x+4y=1 x=3,y=6时等号成立x+y的最小值为9 解法（二）换元法 Qx,yR+且1x+4y 设1x=cos 4y=sin2 (0,2) x=1cos2=sec2=1+tan2 y=4sin2=4csc2=4+4cot2 x+y=(1+tan2)+(4+4cot2)=5+tan2+4cot25+2tan24cot2=9 当且仅当tan2=4cot2时，等号成立 同（一），当x=3,y=6时，x+y有最小值9 解法（三）反换元 设x+y=t,令x=tcos2 y=tsin2 (0,2) Q1x+4y=1 1tcos2+4tsin2=1 t=1co
3、s2+4tsin2=5+tan2+4cot29（以下同（二）解法（四）判别式法 令x+y=t,则y=t-x(t0)Q1x+4y=1 1x+4t-x=1 x2+(3-t)x+t=0又QxR+ 0 =(3-t)2-4t0 解得t9或t1（舍） x+y有最小值9 解法（五）消无法 Qx,yR+,且1x+4y=1 y=4xx-1(x1) x+y=x+4xx-1=x+4x-1+4(x-1)+4x-1+52(x-1)4x-1+5=9 当且仅当x-1=4x-1即x=3,y=6时等号成立x+y有最小值9 解法（六）构造积为定值 Q1x+4y=1 4x+y=xy xy-4x-y=0 (x-1)(y-4)=4(x
4、1,y4) x+y=(x-1)+(y-4)+52(x-1)(y-4)+5=9 当且仅当x=3,y=6时等号成立x+y有最小值9 解法（七）导数法Q1x+4y=1 y=4xx-1=4x-1+4(x1) 令x+y=t，则y=t-x当直线y=-x+t与曲线y=4x-1+4相切时，截距最小Qy=(4x-1+4)=-4(x-1)2由-4(x-1)2得x=3将x=3代入1x+4y=1得y=6 切点坐标为（3，6）（x+y)min=3+6=9 解法（八）定比分点坐标公式的活用 Qx,yR?e,且1x+4y=1 00) 由定比分点坐标公式得：1x=1+x=1+1x又1x+4y=1 y=1-1+ y=4(1+)x+y=(1+1)+4(1+)=(4+1)+5241+5=9 当且仅当x=3,y=6时等号成立 x+y有最小值9 以上解法是本人初浅的认识，愿有兴趣的读者共同探讨。