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1、一道金典中考几何题的解析 如图，已知点C在O上，延长直径AB到点P，连接PC，COB=2PCB. （1）求证：PC是O的切线。 （2）若AC=PC，且PB=3，M是O下半圆弧的中点，求MA的长。 考点：切线的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.菁优网版权所有。 分析 （1）由于OA=OC，那么OAC=OCA，则COB=2OCA，又C OB = 2P C B，可求OCA=PCB，而AB是直径，可知OCA+OCB=90，从而有PCB+OCB=90，即OCP=90，从而可证CP是O切线； （2）连接BM，由于M是弧AB中点，那么AM=BM，而AMB=90，易知MAB=MBA=45，而A
2、C=CP，则P=CAO，又BCP=CAO，从而有P=BCP，即BC=BP=3，而CBO=2P，BOC=2CAO，于是BOC=CBO，而OB=OC，那么可?CBOC是等边三角形，从而有OB=BC=3，即AB=6，在RtAMB中，利用特殊三角函数值可求AM. 解答 解：（1）O A = O C，OAC=OCA，COB=2OCA， C O B = 2P C B，OCA=PCB， AB是O直径，ACB=90， OCA+OCB=90， PCB+OCB=90， PCO=90， 点C在O上，PC是O的切线； （2）连接BM. M是O下半圆弧中点，弧AM=弧BM，AM=BM， AB是O直径，AMB=90，BAM=ABM=45， AC=PC，OAC=P=OCA=PCB，BC=BP， OC=OB，OBC=OCB=2PCB， B O C = 2C A O，BOC=OBC=OCB，BOC是等边三角形，OB=BC， PB=3，BC=3，AB=6， 在RtABM中，AMB=90，AM=sin45AB=3 点评 本题考查了圆周角定理、切线的判定、等边三角形的判定和性质、特殊三角函数值的计算.解题的关键是连接BM，构造直角三角形AMB，并证BOC是等边三角形。