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1、一题多解,激活学生思维的有效性 对数学问题多种解法的不懈追求,体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、和开放性。本文是我在教学中遇到的一道习题给我的反思和启示。 题目:见图1,ABO中,AB=AO,点A(-2,-4),把AB所在的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线L,设P是直线L上一动点。 (1)求直线AB的解析式。 (2)当以点A、B、O、P为顶点的四边形是平行四边形时,请求出顶点P的坐标。 (3)设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的坐标为x,求S与x的函数关系式,并求当S=12时,点P的坐标。 命题组解法 (1)由题意得:B(-4,0),A(-2,-4)直
2、线AB的解析式为y=-2x-8 (2)P(-2,4)或(2,-4) (3)见图2,过点P、A分别作PEx轴于E,AFx轴于F 直线OP平行于直线ABOP直线的解析式为y=-2x S=SABO+SPBO= OB•AF+ OB•PE = 44+ 4|yP|=8+4|x| 当S=12时,8+4|x|=12x=1 P(1,-2)或(-1,2) 反思:本题3道题目都是常规题,在平时的教学中已多次讲解,只是第(3)题注意分类讨论学生容易忽略:点P有在x轴上方、x轴下方两种情况。所以,在讲解前我并没有多加思索,只是按照命题组解法去理解解题思路:本题由于点P的位置不确定,应该有两种情况
3、,所以PE的长度用|-2x|表示,从而得出两解。但在讲解后,学生提出:当点P在x轴下方时,AOP的面 积并不能用 OB•PE来表示。听了学生的话,我重新思考了第 (3)题,发现AOP的面积确实不能直接用 OB•PE来求得 我马上表示组织学生让他们重新思考第(3)题解法,在分析、讨论后,学生给出了下列解法: 解法1本题分两种情况: 1)点P在x轴上方:见图2,设P(x,-2x) S=SABO=SPBO= OB•AF+ OB•PE= 44+ 4(-2x)=8-4x 当S=12时,8-4x=12,x=-1 2)点P在x轴下方:见图3,设P(t,-2t)
4、(t0) A(-2,-4) AP直线解析式为 OH= SAOP=SAOH+SPOH= • •2+ • •t = + =4t S=SABO+SPBO=8+4t 当S=12时,8+4t=12,t=1 P(1,-2) 综上所述:P(1,-2)或(-1,2) 点评:本题中AOP的面积由于不好用面积公式直接求得,在平面直角坐标系中,解决这类问题常用方法就是割、补法:将不好求图形的面积转化为好求图形的面积。所以学生用割、补法中的割的方法将AOP分割成两部分AOH和HOP,而H为直线AP与y轴的交点,利用A,P点的坐标,用待定系数法求出直线AP的解析式,从而表
5、示出点H的坐标,进而求出AOP的面积。 在同学的提示下,其他学生又给出了求AOP面积的另一种解法: 解法2SAOP=S四边形AEFP-SAOE-SPOF = •(t+2) •t•2t =4t 点评:本题是用补的方法将AOP面积的面积补成好求的梯形的面积,再减去AOE面积和EOP面积,从而求得AOP的面积。 解法3分别过点A、O作AOx轴于点H,AE直线L于点E,OGAB于点G。 A(-2,-4),AB=AOOB=4,AH=4,AB=2 SAOB= •AH•OB= •OG•AB OG= = = AB/OP,OGA
6、B,AEOPAE=OG= P(t,-2t)(t0)OP= t SAOP= •AE•OP= • • t=4t 点评:本题中有一个特殊条件:AB/OP,利用“平行线间的距离处处相等”,则点A到OP的距离AE与点O到AB的距离相等OG,而OG的长度利用AOB的面积可求得,从而求得AOP的面积。 反思:想到这种解法的学生,我真为他喝彩。让我们重新思考本题条件:线段AB是位置确定的定线段,而直线OP/AB,故线段AB与直线OP间的距离为定值,求出了这个距离,就可以直接用面积公式来求出AOP的面积。这种解题思路在我们平时的习题中也会用到,所以,在讲清了本题的
7、解题思路后,我给学生作了简单的点评和总结,以加深他们的印象。 解法4在第(2)题的基础上,四边形ABOP的面积可看成平行四边形ABOE的面积与APE的面积之间的和、差关系,从而直接求得。 若x2时,见图7,则S四边形ABOP=SABOE+SAPE =16+ 4(-4+2x) =8+4x 当点P在x轴下方时,S四边形ABOP=8+4x 点评:我们在教学过程中,经常会给学生分析:在压轴题中,当后面的难题不会做时,可以反思前面的问题,出题者为了降低题目的难度,往往前面的问题是为后面的问题做铺垫或伏笔,前面的问题为后面的问题服务。学生就是从这个角度去思考后而得出了这个解法。 解法5见图8,AB/OP利用“平行线间的距离处处相等” 我们发现:SAOP=SBOP= •PE•OB = 4|-2x| -2x