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1、三角变换中的技能技巧一、常用变形的技能技巧： 1、熟练三角公式的各种变式 如正切公式tan()= 有如下的变式tantan=tan()（1tantan） 除此之外，其它三角公式也有其不同的变式。 例1、求tan20+tan40+tan20tan40的值。 解：原式=tan（20+40）?（1-tan20tan40）+tan20?tan40 =tan60?（1-tan20tan40）+tan20?tan40 =-tan20?tan40+tan20?tan40 = 2、和、差、倍、半的相对性 和、差、倍、半角既是相对的，又是统一的。例如： = （- ）+= （+）- = 2/2= 2=（+）+（-
2、）=（+）-（-）= 熟悉以上几种变换，可根据题目需要灵活变换其角，达到应用题设条件，简化运算之目的。 例2、设0 2、变换思想 将三角函数或三角函数的组合形式用字母代换，使题中的三角关系式向代数式、代数方程转化，进而运用相关知识解决的思想方法。 （1）代数化 例9、已知sin - cos = , 0 0 , b 0 从而 (a -b )2 = a2 + b2 - 2ab =, (a + b )2 = a2 + b2 + 2ab .ab =, a + b = sin6- cos6=( a3 - b3 )(a3+b3)=(a - b )( a2 + b2+ab)(a+b)( a2 + b2 -a
3、b) = （2）复数化 例10、已知sin + sin =, cos+cos =, 求tan(+). 解：设z1 = cos+ isin, z 2 = cos+ isin,则 z1 +z2=(cos+ cos)+i(sin+ isin) =+i, 1=，2= 1+2=+=，z1 z2= =+i 根据复数乘法的几何意义，得z 1z 2 = cos(+) + i sin(+) tan(+ )= （3）方程化 例11、求sin18的值。 解：36+54 = 90,sin36 = cos54，即 2sin18cos18= 4cos3 18- 3cos18， cos180 , 2sin18= 4(1 -
4、sin218) - 3，整理得，4sin2 18 + 2sin18 - 1 = 0， 解之sin18= sin18是锐角，sin18= 3、对称思想 根据所求式的特点，巧妙配上一个某种关系的对称式子而获解的思想方法。 例12、求sin10sin30sin50sin70的值。 解：设x = sin10sin30sin50sin70，y = cos10cos30cos50cos70,则 xy = sin20sin60sin100sin140= cos70cos30cos10cos50=y y 0, x =. 4、数形结合思想 挖掘三角函数中的几何背景，构造平面几何、解析几何模型，体现数与形的相互联
5、系，相互作用与相互促进的对立统一关系，最后达到求值目的思想方法。 例13、求tan20+ 4sin20的值。 分析：该题为93年全国高考题，参考答案（略）经历了一个由“一个非特殊角”（20）向“两个非特殊角”（20、40）再向另“两个特殊角”（10、80）的漫长转化过程。事实上，本题有一个简单的几何背景： 解：如图1：设三角形ABC为顶角是40的等腰三角形， 其中AB = AC = 2 ，在形外作CAE = 20，BEAE， 垂足为E，则AE = 1；作ADBC于D，设BE交AC于F，这时 EF = tan20，BE = tan60，由图及所作辅助线易知， 三角形CBF也是顶角（CBE）为40
6、的等腰三角形， BF = BC=2BD=2ABsin20=4sin20，BF+EF=BE ， tan20+4sin20=tan60 = 5、整体思想 把握三角题目中的整体因素，以整体代入，从整体求出的一种思想法。 例14、已知tan( + ) = a ，试求sin2的值。 解：sin2=-cos2（+/4）= 6、参数思想 这是一种三角求值题中较新颖的思想方法，特点是书写简洁，思路清晰明朗。 例15、已知tantan= 求 (2 - cos2)(2 - cos2)的值。 解：由tantan=可设sinsin=k,coscos=k(k0) 从而cos(+)=coscos-sinsin=(-1)k, cos(-)=coscos+sinsin=(+1)k (2 - cos2)(2 - cos2) =4-2（cos2+cos2) + cos2cos2 =4-4cos(+)cos(-)+cos2(+)+cos2(-) =4-4cos(+)cos(-)+ 2cos2(+)+2cos2(-)-2 =4-4(-1)k(+1)k + (-1)2k2(+1)2k2 -1=3-8k2+8k2 = 3