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1、两道“解析”模拟考题的解法探究解析几何的综合问题，已知条件多，题干长，常涉及多个知识，对能力要求高，不少学生感到思路不清，难以入手，鉴于此，笔者结合2017年北京市高考模拟解析几何试题，谈谈个人的一些想法，谈谈如何自然形成解题思路，供大家参考. 从已知出发，循序渐进自然生成 已知条件是我们解题的重要依据，解题时要认真阅读已知，准确把握已知给了我们哪些信息？?些信息之间有什么关系？全面分析这些已知条件还可以得出哪些结论？这些结论和我们所要求的结论有什么关系？另外，还有要充分挖掘题目中隐藏的已知条件有哪些？弄清了这些问题，解题思路便可自然生成，问题不攻自破. 例1 （2017年高考西城区第一次模拟
2、考试，理科19题） 如图1，已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，F为椭圆C的右焦点，A（-a，0），AF=3. （1）求椭圆C的方程； （2）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M. 直线OM与直线x=4交于点D，过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E，求证：ODF=OEF. 分析1：本题的第一问很容易解决，第二问中P为椭圆上一点，AP的中点M与原点O连接并延长与直线x=4相交，形成点D，点E是过O且平行于AP的直线与直线x=4相交形成的，这样才出现了线段DF和EF，可见DF和EF都与点P有紧密的联系，所以我们就应从点P入手探究点D与点E具有怎样的位置关系？研究发现点D与点E与x轴
3、没有对称关系，这样自然引领我们要探究EF与P点有紧密联系的直线MD的位置关系，接下来探究FD与OE的位置关系，这样本题的解题思路就生成了. 解法1：（1）椭圆C的方程是+=1. （2）由（1）得A（-2，0）. 设AP的中点M（x0，y0），P（x1，y0）. 设直线AP的方程为：y=k（x+2）（k0），将其代入椭圆方程，整理得 （4k2+3）x2+16k2x+16k2-12=0， 所以-2+x1=. 所以x=，y0=k（x0+2）=， 即M，. 所以直线OM的斜率是= -， 所以直线OM的方程是y=-x. 令x=4，得D4，-. 设直线OE的方程是y=kx. 令x=4，得E（4，4k）.
4、由F（1，0），得直线EF的斜率是=，所以EFOM，记垂足为H； 因为直线DF的斜率是=-，所以 DFOE，记垂足为G. 在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余， 所以ODF=OEF. 评析：通过上述分析及解题过程可以看出解题思路的形成是从已知入手，从已知条件间的联系出发，探究从已知得出的相关点、线、角间的关系，循序渐进地得出所要求的结论. 因此解题中要善于利用已知条件，这里所说的已知条件既有题目中直接给出的，也有隐含的需要我们进一步挖掘才能得出的条件. 分析2：如何使解题过程简便快捷，运算量小一些，一直是考生们所追求的，在解法1中，我们从直线AP的方程出发，运算量略显大些，
5、如何解决？在本题中，点P为椭圆上的动点，点E和点D随着点P的运动变化而变化，点P的运动变化是主动的，所以我们从点P的坐标出发，用点P的坐标表示点E和点D的坐标，从而刻画EF和FD的运动变化，探究EF与直线MD的位置关系，这样，从点P的坐标入手成为解决本题的自然选择. 解法2：（1）椭圆C的方程是+=1. （2）由（1）得A（-2，0）. 设P（x1，y1）（x12），其中3x+4y-12=0. 因为AP的中点为M，所以M，. 所以直线OM的斜率是kOM=， 所以直线OM的方程是y=x. 令x=4，得D4，. 直线OE的方程是y=x. 令x=4，得E4，. 由F（1，0），得直线EF的斜率是kE
6、F=， 因为kEF?kOM=?=-1， 所以EFOM，记垂足为H； 同理可得kDF?kOE=?=-1， 所以DFOE，记垂足为G 在RtEHO和RtDGO中，ODF和OEF都与EOD互余， 所以ODF=OEF. 评析：解析几何综合问题常在运动变化过程中探究某些不变的性质与规律，对于这类运动变化问题，解题时要从已知出发深入探究产生运动变化的根源，从产生运动变化的根源入手，选择好从直线方程入手还是从点的坐标入手，就可以简化计算过程，自然快捷地解决此类问题. 从结论入手，执果索因由此及彼 例2 （2017年高考北京市海淀区第一次模拟考试，文科19题） 已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右顶点分别为A
7、，B，且AB=4，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）设点Q（4，0）， 若点P在直线x=4上，直线BP与椭圆交于另一点M，判断是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 分析：是否存在点P，使得四边形APQM为梯形？很自然想到假设成立，将四边形APQM为梯形视为已知反推点P所满足的条件，由已知显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，平行我们又很自然地想到斜率相等，在AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标，这里我们可以有三种思路： 思路一：因为点P在直线x=4上，所以可设点P（4，y0），由此得出直线BP的方程，从而用点P的坐标P（4，y0）表
8、示点M的坐标，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标. 思路二：从直线AP入手，由于点A已知，所以设AP所在直线为y=k（x+2），利用点P在直线x=4上将点P的坐标用k表示，从而得出直线BP的方程，利用点M是直线BP与椭圆的交点，将点M坐标也用k表示，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐标；本思路中要经历两次解方程组，特别是求点M坐标时注意韦达定理的应用，以简化运算. 思路三：从直线BP入手，由于点B已知，所以设BP所在直线为x=ty+2，利用点P在直线x=4上将点P的坐标用t表示，利用点M是BP与椭圆的交点，将点M坐标也用t表示，最后利用AP与MQ斜率相等的条件下求点P的坐
9、标；观察发现直线BP一定存在斜率，所以本思路中直线BP的方程我们采取了横截距式，与思路二对比大大降低了运算量. 解法1：（1）椭圆C的方程为+=1. （2）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，即kAP=kMQ. 设点P（4，y0），M（x1，y1），kAP=，kMQ=， 所以=， 所以直线PB方程为y=（x-2）. 由点M在直线PB上，则y1=（x1-2）. 联立，=，显然y00，可解得x1=1. 又由点M在椭圆上，+=1，所以y=，即M1， 将其代入，解得y0=3， 所以 P（4，3）. 解法2：（1）椭圆C的方程为+=1. （2）假
10、设存在点P，使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，kAP=kMQ， 显然直线AP斜率存在，设直线AP方程为y=k（x+2）. 由y=k（x+2），x=4，所以y=6k，所以P（4，6k）. 又B（2，0），所以kPB=3k. 所以 直线PB方程为y=3k（x-2）， 由y=3k（x-2），3x2+4y2-12=0， 消y， 得（12k2+1）x2-48k2x+48k2-4=0. 又B（2，0），所以2+x=，即x1=， 所以y1=3k（x1-2）=. 所以M，. 由kAP=kMQ可得=， 解得k=， 所以M1，P（4，3）， 解法3：（1）椭圆C的方程
11、为+=1. （2）假设存在点P，使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行，kAP=kMQ. 显然直线MB存在斜率且斜率不为0， 所以设直线MB方程为x=ty+2（t0）. 由x=ty+2，x=4，得P4，. 所以kAP=. 由x=ty+2，3x2+4y2-12=0， 得（3t2+4）y2+12ty=0. 设M（x1，y1），又因为B（2，0）， 所以y1=， 所以x1=ty1+2=， 即M， 由kAP=kMQ，所以=，解得t=，所以P（4，3）. 评析：在解决解析几何综合问题时，有时若直接求解，常常感觉不知从何入手，我们可以尝试从结论入手，观察结论和已知条
12、件有什么关系，探究结论成立时应满足什么条件. 执果索因，往往可使解题思路豁然开朗. 善于将问题进行转化，从几何角度寻求突破 “解析几何”首先是几何问题，利用平面几何知识解决问题也是不可或缺的方法，解析几何问题中蕴含很多几何条件，这些几何条件间有什么关系？从某些几何条件出发能得到什么样的新几何关系？某些几何关系成立需要有怎样的几何条件？随着这些疑问的探究和解决，解题思路也就自然的生成了，请看例2的第四种解题思路： 分析：四边形APQM为梯形，由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行.由平行的性质可得：=，因为A，B，Q三点已知，所以=，而BM与BP之比又可以转化为与x轴平行的线段长度之
13、比，如图5可以过点M作MHAB于H，则有=， 这样就可以确定点M的坐标，从而得出点P的坐标. 解法4：假设存在点P，使得四边形APQM为梯形. 由题可知，显然AM，PQ不平行，所以AP与MQ平行， 所以=，所以=. 设点M（x1，y1），P（4，t）. 过点M作MHAB于H，则有=， 所以BH=1， 所以H（1，0），即x1=1，代入椭圆方程，求得y1=， 所以P（4，3）. 评析：解析几何的核心方法是用代数的方法研究几何问题，在解题过程中，利用平面几何知识研究题目中的几何关系是必要的，在这个过程中要经历文字信息、图形特征和符号语言之间的多重转换，因此，我们必须重视对几何关系的深入研究，在用恰当的代数形式表示题目中的几何关系，从而形成正确的解题思路. 解析几何综合题综合性强，能力要求高，是每年高考的热点，也是重点；高考的解析几何考题常考常新，难免会有学生陌生的题目，但陌生往往只是在形式上的，本质不会超出我所学的知识范畴，只要我们遵循解题的基本规律，抓住学科知识本质，认真探究已知、结论间的本质联系，解题思路定会“柳暗花明”，事半功倍地解决好解析几何的综合问题.