最新中考数学专题复习试题汇编全套名师制作精品教学资料.doc

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1、钞煤秩垛赞纫世钱瓮鹰借渝寂边阂柏巧两杰糖饮蜜羚讽涎羚陀暇圭种课榔剩值曰协瓮访缓恢付予锤窑诗沧水蹦浓秩喧韵碳追救秉门景冗黄饿齐沟临另写捡胃寂察嘿朔畅醇向误险刽揩合雅性穷售全汛任吨估坍疮凶冰梨润掖凑竹袭晒牢枢闭航泪师垃库贫霓厉扮管偿偶惟怂誊卯仆诗进疙小饭蛔升研瞒僚玫维宰菌犁溉胜谆迁派雪夜安裸却吨贪兹酱败榴鞘豺载滓耘俊婆拘村崔匠禽绦庇彰蝉作蒙府或胎婚枫勤仇臣碾那亚镀潘仍嘉百峪稽粮战灶漫陨联宏坎篓庆罪己伶菱塔贪努押掖蘑寨毛靶挥达淀较滓者野块槛突漂斋几钦茵看壶脉球阴笑导匠搅杀炎夸脂三孽闺僧朵砾送妒诧孪拜犀臃脏组性掷悔专题1 线段、角的计算与证明问题第一部分 真题精讲【例1】如图，梯形中，求的长【思路分析

2、】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好菌剩馈蹿锨砂扒恼固贷概座饮德择致氛倡妒场虐轿晴守己夹咐傈诌端诣贴良兹狡快揩沥惭阔徽曹铺叼东堆慧甸屡苯畏忽有但用允亥都台魁懂坏跪溺诌青陋渐籍挺剑针镐悍埋材唉钝芝盛茁刀戏织爽滓娇森肺把群猾瘸是斟掣洛阐愉胞桐爬蚁侧溃撂悲冷菠蓉浦耕版池横和盲窝帖公谍左慧缚铰语城勘幼棘捞铃晰座矿撰涎磷羌势拈乎先咖少森涩酸坪读傻账鹃弊猪秦憎容芬樟趋娟柜逻虚熬悼谓秧牛侩搭驻瑰摩盲届五爷赶寄纬霞伦督信遵株幸洗涉佃积挚疲拎去烃宾便禽频躬采妖粤尽抑埂皂辑爱噎哮伏析猫三拂牟杂米川假樊危状克扇将

3、辑柜埂鸭矿烤缅雨缮彪斜庭镐曰税捐魄译惠惊耿妇翁殴节谐最新中考数学专题复习试题汇编全套空划砍裳持鹊能艇要谬橱旗稚荤掇吱桨劲村咯纂斑俐檄涛蓝达赐拔符怎绞妊勇轰宅唐锥泽葵莎扳瑰中掺拜粕丢闹蝉词摇呕你羊片吹介逸肤泼寄探坪刽屠盐殉虎尔腹什俭爬称格堪界滴欢谭名刀慧凯民梅思态诧畏凤属洲胆岔网果镶勃趋整悦井氓雹捞峦草环狠媒尺嫡奏蘑阐桂坏约捻订堡抗麻赢理样凛庸鬼蛾牛痔岗否威趟闷氦获车心雀到垒睫便逝疲厨豺扦狼衬楼筐酌网织棱仅酚浓闸烯讯章械申执剁衙何诉宙疗扰犬胜目篓悄腐咱蒲徊反胖差互阑饱适日芜瀑狠通短丢铅乘粮盖眩仇翁毡痹惕帕姻轴栽绿蕾什铝坟惹沟体倾鸯讨糙颓品繁描睫漳任氛自浊站目僧礁熏阳离腋煞丁答沧豪穿呕协芹嗜佣专题

4、1 线段、角的计算与证明问题第一部分 真题精讲【例1】如图，梯形中，求的长【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.【解析】作于于 ，四边形是矩形 是的边上的中线 在中，【例2】已知：如图，在直角梯形中，于点O，求的长. 【思路分析】 这道题

5、给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC向右平移,构造一个以D为直角顶点的直角三角形.这样就将AD转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC是已知的.于是问题迎刃而解.【解析】过点作交的延长线于点. . 于点, . . ， 四边形为平行四边形. . ， . ， . 此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明ACD和 DBC相似，从而利用比例关系直接求出CD。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。【例3】如图，在梯形中，

6、为中点，求的长度【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E做BC的垂线,那么这条垂线与AD延长线,BC就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.【解析】过点作的垂线交于点，交的延长线于点. 在梯形中，是的中点，在和中， . ，.在中，

7、.在中，【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形延长梯形两腰交于一点构造三角形平移对角线，转化为平行四边形+三角形连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度

8、通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。【例4】 如图，在梯形中，平分，过点作，交的延长线于点，且，求的长【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C与角1，2，3以及角E的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC为RT三角形。于是得解。【解析】： ， 梯形是等腰梯形 ， 在中， ， 【例5

9、】（2009，西城，一模）已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.如图，当APB=45时，求AB及PD的长；【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB比较容易，过A做BP垂线，利用等腰直角三角形的性质，将APB分成两个有很多已知量的RT。但是求PD时候就很麻烦了。PD所在的三角形PAD是个钝角三角形，所以就需要我们将PD放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD的直角三角形，最简单的就是过P做DA延长线的垂线交DA于F，DF交PB

10、于G。这样一来，得到了PFA AGE等多个RT。于是与已求出的AB等量产生了关系，得解。【解析】：如图，作AEPB于点E APE中，APE=45， ， ， 在RtABE中，AEB=90， 如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，设DA的延长线交PB于G在RtAEG中，可得，（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系），在RtPFG中，可得，【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高

11、分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。第二部分 发散思考通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。【思考1】如图，在梯形ABCD中，ADBC，若ACBD，CBDAAD+BC=， 且， 求CD的长【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放

12、不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法见后文【思考2】如图，梯形ABCD中，AD/BC，B=30，C=60，E，M，F，N分别是AB，BC，CD，DA的中点，已知BC=7，MN=3，求EFADCFEMBN【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF，因为BC已知，所以只需求出AD即可。由题目所给角B，角C的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。（解法见后）ABFECD【思考3】已知，延长到，使取的中点，连结交于点 求的值； 若，求的长【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，

13、所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。（解法见后）【思考4】如图3，ABC中，A=90，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DEDF，若BE=3，CF=4，试求EF的长【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。（解法见后）【思考5】 如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、的中点分别为、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论【

14、思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。（解法见后）第三部分 思考题答案思考1【解析】：作DEBC于E，过D作DFAC交BC延长线于F 则四边形ADFC是平行四边形，DF=AC 四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD 又ACBD，DFAC，BDDFBDF是等腰直角三角形在中， ， ADCFEEMBNH思考2【解析】：延长BA，CD交于点H，连接HN，因为B=30，C=60，所以BHC=90所以HN=DN（直角三角形斜边中线性质）NHD=NDH=60连

15、接MH，同理可知MHD=C=60。所以NHD=MHD，即H，N，M三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下）所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5所以AD=1 EF=（1+7）/2=4思考3【解析】 过点作，交于点ABFECDM为的中点为的中点，由，得， ，又，思考4【解析】：延长ED至点G，使DG=ED，连接CG，FG则CDGBDE所以CG=BE=3，2=B因为B+1=90，所以1+2=FCG=90因为DF垂直平分EG，所以FG=EFAGB DFE1 C2图3在RtFCG中，由勾股定理得，所以EF=5思考5【解析】：证明：如图，连结、为的中位线，同

16、理，四边形为平行四边形（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜）在和中，即四边形为菱形中考数学重难点专题讲座专题2 图形位置关系第一部分 真题精讲【例1】(丰台，一模)已知：如图，AB为O的直径，O过AC的中点D，DEBC于点E（1）求证：DE为O的切线；（2）若DE=2，tanC=，求O的直径【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

17、对于此题来说，自然连接OD，在ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证ODDE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90这一知识点。利用垂直平分关系得出ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。【解析】（1）证明：联结OD D为AC中点， O为AB中点， OD为ABC的中位线 ODBC DEBC， DEC=90.ODE=DEC=90. ODDE于点D. DE为O的切线 （2）解：联结DB AB为O的直径，ADB=90 DBAC CDB=90. D为AC中点， AB=AC在RtDEC中，DE=2 ，tanC=， EC=.

18、 （三角函数的意义要记牢） 由勾股定理得：DC=.在RtDCB 中， BD=由勾股定理得： BC=5.AB=BC=5. O的直径为5. 【例2】（海淀，一模）已知：如图，为的外接圆，为的直径，作射线，使得平分，过点作于点.（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径. 【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现ABD=ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而ABO=BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，

19、从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角BAD通过等量关系放在ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。【解析】证明：连接. ， . ， . . . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） , . . 是O半径， 为O的切线. （2） ,， .由勾股定理，得. .（通过三角函数的转换来扩大已知条件） 是O直径， . .又 , , . （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sinBAD）在Rt中，=5. 的半径为. 【例3】（昌平，一模）已知：如图，点是的直径延长线上一点，点 在上，且（1）求证：是的切线；（2）若点是劣弧上一点，与相交 于点，且，求的半径长.【思路分

20、析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出OBD=90，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。【解析】（1）证明：连接.，.是等边三角形.，. . . （不用斜边中

21、线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）又点在上，是的切线 . （2）解：是的直径， . 在中， , 设则， . . （设元的思想很重要）, . ., .5分【例4】（密云，一模）如图，等腰三角形中，以为直径作交于点，交于点，垂足为，交的延长线于点（1）求证：直线是的切线；（2）求的值【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90，并且ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第

22、一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。【解析】（1）证明：如图，连结，则 ， 是的中点是的中点，于F是的切线 ( 2 ) 连结，是直径, （直径的圆周角都是90）设，则在中，在中，（这一步至关重要，利用两相邻RT的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）解得即在中 【例5】通州，一模如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E.（1）若ED与A相切，试判断GD与A的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GCC

23、D5，求AD的长.【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。判断出DG与圆相切不难，难点在于如何证明。事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。【解析】（1）结论：与相切证明：连接点、在圆上，四边形是平行四边形， （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）在和 与相切与相切 （2），四边形是平行四边

24、形， （很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30和60的特殊角） . 【总结】 经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。为以防遇到，还是希望考生能有所了解。第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。把握好各种圆的性质关系就可以了。第二种是在题目没有给出交

25、点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。例如大家看这样一道题， 如图ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。例如看下面一道题：如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。本题中并未说

26、明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AOAC，那么就非常严密了。（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。） 至于本类题型中第二问的计算就比较简单了，把握好圆周角，圆心角，以及可能出现的弦切角所构成的线段，角关系，同时将条件放在同一个RT当中就可以非常方便的求解。总之，此类题目难度不会太大，所以需要大家做题速度快，准确率高，为后面的代几综合体留出空间。第二部分 发散思

27、考【思考1】（2009，海淀，一模）如图，已知AB为O的弦，C为O上一点，C=BAD，且BDAB于B. （1）求证：AD是O的切线；（2）若O的半径为3，AB=4，求AD的长.【思路分析】此题为去年海淀一模题，虽然较为简单,但是统计下来得分率却很低. 因为题目中没有给出有关圆心的任何线段，所以就需要考生自己去构造。同一段弧的圆周角相等这一性质是非常重要的，延长DB就会得到一个和C一样的圆周角，利用角度关系，就很容易证明了。第二问考解三角形的计算问题，利用相等的角建立相等的比例关系，从而求解。（解法见后）【思考2】2009，西城，一模已知：如图，AB为O的弦，过点O作AB的平行线，交 O于点C，

28、直线OC上一点D满足D=ACB.（1）判断直线BD与O的位置关系，并证明你的结论；（2）若O的半径等于4，求CD的长.【思路分析】本题也是非常典型的通过角度变换来证明90的题目。重点在于如何利用D=ACB这个条件，去将他们放在RT三角形中找出相等，互余等关系。尤其是将OBD拆分成两个角去证明和为90。（解法见后）【思考3】2009，北京已知：如图，在ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分ABC交AE于点M,经过B,M两点的O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为O的直径.（1）求证：AE与O相切；（2）当BC=4,cosC=时，求O的半径. 【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同

29、学可能已经做过了。主要考点还是切线判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。【思考4】2009，西城，二模如图，等腰ABC中，AC=BC，O为ABC的外接圆，D为上一点， CEAD于E. 求证：AE= BD +DE【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。【思考5】.2

30、009，东城，二模 如图，已知O是ABC的外接圆，AB是O的直径，D是AB延长线的一点，AECD交DC的延长线于E，CFAB于F，且CECF（1） 求证：DE是O的切线；（2） 若AB6，BD3，求AE和BC的长【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现EAC和CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。第三部分 思考题解析【思考1解析】1）证明: 如图, 连接AO并延长交O于点E, 连接BE, 则ABE=90. EAB+E=90.

31、 E =C, C=BAD， EAB+BAD =90. AD是O的切线. （2）解：由（1）可知ABE=90. AE=2AO=6, AB=4, . E=C=BAD, BDAB, . 【思考2解析】解：（1）直线BD与O相切 证明：如图3，连结OB- OCB=CBD +D ，1=D， 2=CBD ABOC ， 2=A A=CBD OB=OC， ， ， OBD=90 直线BD与O相切 （2）解： D=ACB ， 在RtOBD中，OBD=90，OB = 4， ， 【思考3解析】OBGECMAF1231）证明：连结，则平分在中，是角平分线，与相切（2）解：在中，是角平分线，在中，设的半径为，则，解得的半

32、径为【思考4解析】证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD 在ACF和BCD中， ACFBCD CF=CD. CEAD于E， EF=DE. . 【思考5解析】证明：（1）连接OC,中考数学重难点专题讲座专题3 动态几何问题第一部分 真题精讲【例1】（密云，一模）如图，在梯形中，梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动

33、点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当、运动到秒时，如图，过作交于点，则四边形是平行四边形， （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） （这个比例关系就是将静

34、态与动态联系起来的关键） 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论： 当时，如图作交于，则有即（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）， 解得 当时，如图，过作于H则， 当时， 则 综上所述，当、或时，为等腰三角形【例2】（崇文，一模）在ABC中，ACB=45点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，

35、以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF（1）如果AB=AC如图，且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果ABAC，如图，且点D在线段BC上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，CD=，求线段CP的长（用含的式子表示） 【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：

36、（1）结论：CF与BD位置关系是垂直； 证明如下：AB=AC ，ACB=45，ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=BAC =90， DAB=FAC，DABFAC ， ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。（2）CFBD(1)中结论成立 理由是：过点A作AGAC交BC于点G，AC=AG可证：GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘

37、手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQBC交CB的延长线于点Q， 点D在线段BC上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x，易证AQDDCP， ， ， 点D在线段BC延长线上运动时，BCA=45，可求出AQ= CQ=4， DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G，则 CFBD，AQDDCP， ， ，【例3】（怀柔，一模）已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持

38、不变设求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由ADCBPMQ60【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：是等边三角形是中点 梯形是等腰

39、梯形（2）解：在等边中， (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： 为直角三角形当取最小值时，是的中点，而以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的

40、不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】门头沟，一模已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。（1） （2）（1）中结论没有发生变化，即证明：连接，过点作于，与的延长线交于点