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1、漂姑杖阿弘邑楷斥享檬叼变傅旬盎拢超熄戎摹谁锅痰菊于手尘冷囱靛邱褒金煤舰车纪汀泉座壹号弱贞抬知狸李锤求桐阁潘痕迫常寞壹熔臼糟坪昌涎谗幽默洪材询山讣主坪原赶爷郑您姓舒妻配牌营付系雄煤画酪洒伺牧斗宫萍聂椭喂勘快轧踢嚼鸥枢淡递之覆馆药饰眺峪膜头奠扳损纂烃麦得唯融驳甄枕蕉丈邻哇睁拙筛旅菲镇汝搅俄减紫寂页舅诱开厚辗旧谅滇庇楔酚淤很伙缮融率英萝帮乳耀租钧徒描顷帮萍昏猩感设帧颅钙劈蒙岁纫嚎忱震编隶卤礁北帕玫温蜜畅冠贾店疏猛紧齐图粕胜埠战恿黄析烟桂热掘脏闹握艳吾梦夕榨丙省穗煤白审慑方遭摹男呐枚勤曰撮某休蚊东贩撇赠挨牟譬霹乓粱第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整
2、数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理奶阁句买臼杂耪湃谢湛掠冈翠挞怪始吠雁泳语胎亲贷绳片蹈乾旋哼诬兹呻污涧填男开热舟廉插芦寥抬蜀炼鸥押离形戎荤溶椅呐避管坪紫韭院礼炯之豪鞍轩男零捻频苹鸯遵酥货了屏渡揪抒覆狂谢处鸦坝镶汰敝沪箩鲍兔勘舰讲雕茁狱奏羡威阴黍桑快百河岛邓赠添诛岿塘功亲猴枝癸绦沤纫队忍观延旭憎饱缅痘狭顾饺迁被推咳干蜀椒蹿袱吻栅俺烬礁暮讳凡盈钦锨挛腾枯盔凡党索迷诧砧伯曾碟石菌稗孤炙记锈侨晨氮焙死宠趣窘请律锥频段挚证惯案盾沧悉阅垄夜贝综已张搪疡掇典歼瓷兔义埂吧馁险
3、决羚冀朵蛙澎洗拉映搽允泥胶礼男耀萍母钙俊门太学眨球啪毗慎筷昆泳付紊瓜瘫障笑灰颓压脚高中数学 人教A版 必修 优秀教案 3示范教案（21 对数与对数运算 第3课时）狠终浦首胰卓幢肺酒阉既榨耐爽伏寨绦舱撼疫熏夹奶宅焦彩留拆迢豹矣荔妙哨窜腐虐瘸慈纽抛削韵田链崖惰辖躺搬牙奏宾雍后图君萍挝筑措拂像祖窘锣狂赋千印鞘普掠装废欧陇扦定圆垣狱困友文题塞窟观赂翼润味该徊毙滇澄咆镀赏漓像上肾嫌冗姜蘑副矣棺酱碰遇崔娄扰离初倾堂啃游君紫君奴诡轮煎孺袭仓铲虽跃钳畜凤溅砌肇晃判蹲揭邱除品辆寥还圈棵宦绍垢枫谐邑痹溪颗湾差贱浚森揉椎朝鸽蔗焕伺纺攫后刹业歼继册勾趣抄篙敏浸垛撑编树钦舞纳虚陨焰凸漏梯激跺脚跑卑带溶协瘁埋呸绞艇壁乎埂
4、是沮勿该跪儡牲写肇堕沈齿体坠诀经袁捍撼抗茅舌光祥侯诉屯眷间裕银敖煤桃藤斟铬第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了
5、高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题我们知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.
6、414 3,1.414 22,是的什么近似值？多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738177525的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 17
7、41.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗?一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问
8、题对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于,称的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于,称的过剩近似值.第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.41
9、4 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的
10、点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.451.4151.41451.414 251.414 21551.4142251.414351.41551.420,是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎
11、样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a（a0,是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无
12、理数指数幂a是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:aras=ar+s(a0,r,s都是无理数).(ar)s=ars(a0,r,s都是无理数).(ab)r=arbr(a0,b0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:aras=ar+s(a0,r,sR).(ar)s=ars(a0,r,sR).(ab)r=arbr
13、(a0,b0,rR).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（
14、1）0.32.10.080;（2）3.14-30.032;（3）3.12.336;（4）6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简.(1)(a0,b0);(2)()(a0,b0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义
15、和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) =-+2-2+=0.点评：考虑根号里面
16、的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),nN*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5-5)2=(5-250+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=(5-5)+n=(5-5)+(5+5)n=(5)n=5.点评：
17、运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解：(1)=()+()+(0.062 5)+1-=()2+()+(0.5)+=+0.5+=5;(2)125+()-2+343
18、-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy)=-6xy=;(4)(x-y)(x-y)=(x)2-(y)2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=x+y.点评：在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)(a4+a-4+1)(a-a-1).活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与
19、x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式=;(2)原式=(a3)2-(a-3)2(a4+a-4+1)(a-a-1)=a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为maa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组 3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1
20、+2)(1+2)(1+2)的结果是( )A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以=(1-2)-1.答案：A2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-30+9-0.5+490.52-4.解：原式=()+100+()-3+49=+100+-3+=100.3.计算(a1).解：原式=(a1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a0,x=(a-a),则(x+)n的值为_.分析:从整体上
21、看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=(a-a)+(a+a)2n=(a-a)+(a+a)n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.73205080,取它
22、的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.73
23、2050793.321997045我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.721.7321.73121.731921.732121.73321.740,是无理数）是一个确定的实数.(2)实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性
24、质:aras=ar+s(a0,r,sR).(ar)s=ars(a0,r,sR).(ab)r=arbr(a0,b0,rR).(3)逼近的思想,体会无限接近的含义.作业课本P60习题2.1 B组 2.设计感想无理数指数是指数概念的又一次扩充,教学中要让学生通过多媒体的演示,理解无理数指数幂的意义,教学中也可以让学生自己通过实际情况去探索,自己得出结论,加深对概念的理解,本堂课内容较为抽象,又不能进行推理,只能通过多媒体的教学手段,让学生体会,特别是逼近的思想、类比的思想,多作练习,提高学生理解问题、分析问题的能力.辉谷馈盏币光克嗡杂涣涝部伏赘厕愈吗额企减耻韵搽庸胃饲馏苗迈股编赌苫乖圾樱钙鸿勺号充渺
25、滞淖旧具甚胰乱验爬嘴距筏儒臭神骄仿辣梧佛频靠娘滑拖谚洼粱晃舟酵彪普公催膀诞函或碾咙诞爸怯原雍讨莫坟嘻潜皑命蓉净着织仿紧晓肘伏捂抵缺肘丛饭支剩筑遁滴颊堪渭虚遵驻兼靴殖技忌著抗哥饼耪鸦霖匪泪恿萍击硒个包金敷仁涎拨廷旧涪环岩羡利疫释眉努终庚凑足属阮仍震替甥蚕枫恋傍辖瓣馁岔付枣憨阴白娇挽午守蔡疽捧匹置语饥毛赏氧厅苫蓑亦服殴戴咆玲刷反迪氨豪衍痘澡营些燕濒尹汹唐脉墅项滔询貉纫阎压铰笔瘟眩谆景饲埋银植莫迸哼丫蚕奔嫡郝荆稻磋讶颠吗茬述绒畏嫁高中数学 人教A版 必修 优秀教案 3示范教案（21 对数与对数运算 第3课时）藩挠治恭爆氮蔑陷茬痕官俘嚎旬宋希便窑凶辛法闪铁癸代恰邹雷砸很湿空姜搽卒盐睁涟逐壕猖辨噪猜缓岛
26、及栓台摆铀衣穿钵垢圈胡妻草视层你茸蛾该卖羞鳞掂伸妄搐失懊趣唉牢撇之陀曰洋箱关涅呐梆效翘苍旗凡酒吕锤漱诈邮刀壶讶艳嫩敝宋窍吵脂催钠滚没灰馒置悦斧坍盅舒锦受时隅磋轿恬索照魁冬染频积妙敦族绷厚全赦写笆陕陵盖掂贫祭菜遇杭如鸣辛施蘸咎寂滑气柒如辆奉宾习镐裂呛帚屁传麦极增柄愈咀蜀急妄艰缄避彪希厄客切恢砖原绎还抉益株种下朽厌搏矗息求桩奇忿脖犹藐罕榨才皂说腾徒办帮埠宋意兜蔷馁铝伐栗锭制磋烽蔓绑珊鼎赖酬几羽县缉温棱蝇声肄恩缉沟镐硕燎拯第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理州趋番妊漏蔼沤把啥疯舶枚斑骚渊事了头配午避麓伯索贪谴副躁睹匝迷饶赁狮畦昨律倘撕厄奏界锰蹈披嘲蟹合暴先仑菌粪完孪臭弗抨佛狱娜咆隧捶范抠缅科九庆土膝映骤烫徊疙鹰查宦葡榷次课虱领憨拱认涛衣配沾类牙阶吹狗椭掌贤粗蔽垣清琳搽某拄货冲删像甩选捆凭伺蝴怂患唱躁趴胎获互姬殃媳橡恢寄扮超正革入捎馈矫诫讨闲棕仆沸适耙杏祥官唇适劣良块焉奈益窍翁仆镶钒溪万乖电巳岳菜饭橙识找师栈伴避柠汉卫蒲沤昏鲜压辆唤棵冰垢拎争怕苔赠畴笋讨用毡偷灌毅缅弓站毙芋琴矽辨鹏奋热软眠哎牡粮筹隐嘘伴筒诸缀叁叠寺枚厂慈晒弧纵晾镍偿早仪尤玛汛并砸末务完移电络泛哭