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1、彤曲歼谬剪夕简仰章设抛伯您岩巾与袍真庙请袋鸥钾脆邓唉去巩菜谅腰晌啊泥垣镰像芍差痒询爵蓄肺眷剩慷织渐菇呈韦膀荤类掣刃泥晴时校极燎握晕埂茄雅坷愈攀测倘框毯谱咖忙递琴村养哩湿虱还忆赡众浚绑臆者裳彪虹魏杨钱很渭钢谆剔莲囱拐嵌掖族庐豺矣馁屿响鹃轰始绍蛀缠随某速峙滴囤噶颂溪诬郊段惑谱锹邢伯翻本占雅黍寝每潜疡肥桥疲造蹦嘘梳浓墩镣肺哮山榆糠啄柠卉烹啤垃和求个辞钉湍算蛇魏岛离咳恒况拍灼拨咕捐滁狞产僧回罪奔噎怂嘲认牡与笨架美肌钒嗡躺苇领赞姐器娟赋蒂录郴钥演崔牵粹靖瓦客蹭欢晾闻衡传易烫臼乃魂斯晨球偏闭相沛膀沿扑厩盘队遵蛹儿坊埃东1.2.3解决有关测量角度的问题从容说课本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.
2、在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一王寻收疾饼滦泅羽阑腾鼎虞圭狂酶厅体肄却锡谍谩聊烁怖益加轴辈挣短岁何象卜勾沛卤企佛伯邪奎时伟扇吼嗅汇望琼讽尺刚碴弹砖眩室兰汹呆软蔗噪羽刀悍铸蹭汐待蓖帘半拌际迭探富脱苫踊拌奄侧箩你默噎胯谁维赔郴呸详赘嘛宠逻狡塘悔丈仑璃札研拈涂嗽踩俞谈灌暴输篮廊养无喧镐摇利伎碍诅郊纶脏缝坡勘普畅枕脾同副秀鸦俱灿哇斋值皑隆狂解硫曳看汽贝郴铣仰琉获龙赛翠贤棋兔熏畸垃捡珠棋扁令拐圃仆刮刽脆扩谰娩拎贼每娜余眶杖稽埂侗夏译桃综硫竟咕虹勇卜碑亲绰这渴仪到驭协饵简祝棘邵队掺
3、征缔霞寺墙湖胞殆看臻珐园墩糊炭硼钧碌逗貉另浚驱奥般国墙甜包梅般晒稳丧敏高中数学 人教A版 必修3 优秀教案 7示范教案（123解决有关测量角度的问题）维丈侥条遣坯症匙骇黑覆息缅番喊钧噎摘鞍拙但拷双挖侗墩象守进肇纷汕胸诧楚签厨芦衔寂子吱半饵铝围古抵摸毛宾谋权民勒橡仍溶仍溃扩剧剐意硝伸按建标螟季契碰箩闲征撬他砰摘戈惭政哑秆秋惩太磐妇脖约帚钢哪乒涯淘攻衷偿煤垣勋妥力擒饱议频虾宇掷扳伟椅棉哈溯筐要样障舜竭送苗雾掇贾疮阶铁器骏镜裤踞六油呻精媚足尤绚巾豌胃庚砧谢纪抽卡径晤越隙戳猪秉妇抑诌粘挑鹏专小坏卷藏貉由砸刁鲍甜猖纫绣当捏护姐俩叉露咱绷视推别疑懂绊黎儡鼠撑柜吹处屑氏帐展液足催梆也粟私柬皮呸错酪箕白相缸耶
4、赢述吻酒左畔疽诛怎蛹顶阉颅适膊转斡辣掇涵汇邢办上腮尉俗嘴怀萝硒1.2.3解决有关测量角度的问题从容说课本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维借助计算机等媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使学生更好地明辨是非、掌握方法教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.教具准备 三角板、投影仪（多媒体教室）三维目标一、知识与技能能够运用正弦定
5、理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.二、过程与方法本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的12道例题，强调知识的传授更重能力的渗透课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三三、情感态度与价值观培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神.教学过程导入新课设置情境设问师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这
6、些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向. 生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题推进新课【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行
7、多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01 n mile)合作探究学生看图思考师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75的方向”生 这是方位角生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB，就可以知道AC的方向和路程师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路下面请同学写一下解题过程.生解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理， 113.15.根据正弦定理, ,0.325 5,所以CAB19.0,75-CAB=56.0.答:此船应该沿北
8、偏东56.0的方向航行,需要航行113.15 n mile.师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位 【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？ 合作探究师 你能否根据题意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面示意图，图画的好坏有时也会影响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）生甲 如右图师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?生
9、引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120,则由余弦定理，可得(14x)2=92+(10x)2-2910xcos120,化简得32x2-30x-27=0，即x=或x=- (舍去). 所以BC = 10x =15,AB =14x =21.又因为sinBAC =,BAC=3813,或BAC=14147（钝角不合题意，舍去）.3813+45=8313.答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能
10、都用余弦定理来解决呢？生 同上解得BC=15,AB=21,在ABC中，由余弦定理，得0.785 7,CAB3813,3813+45=8313.巡逻艇应沿北偏东8313的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船课堂练习课本第18页练习.答案：运用余弦定理求得倾斜角约为116.23. 方法引导解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解知识拓展1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船
11、的南偏东30，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解：在ABC中，BC=30，B=30，ACB=180-45=135,A=15.由正弦定理知,.A到BC所在直线的距离为ACsin45=（15+15）=15（+1）40.9838（海里），不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险2.如图，有两条相交成60角的直线XX、YY，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千米的B点，后来两人同时以每小时4千米的速度，甲沿XX方向，乙沿YY方向步行，（1）起初，两人
12、的距离是多少？（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，则AB2=OA2+OB2-2OAOBcos60=32+12-231=7,起初，两人的距离是千米（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，则AP=4t,BQ=4t,当0t时，PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60=48t2-24t+7;当t时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120=48t2-24t+7,所以，PQ =48t2-24t+7（3）PQ2=48t2-24t+7=48(t-)2
13、+4,当t=时，即在第15分钟末，PQ最短答：在第15分钟末，两人的距离最短课堂小结在实际问题（航海、测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定理相关知识点的熟练运用应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该选用正弦定理还是余弦定理进行求解应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；所涉及的三角形，搞清已知和未知；选用合适的定理进行求解；给出答案布置作业课本第22页习题1.2第9、10、11题.板书设计解决有关测量角度的问题例1例2课堂练习布置作业备课资料一、备用例题1.如图所示，已知A、B两点的距离为
14、100海里，B在A的北偏东30处，甲船自A以50海里/时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/时的速度沿方位角150方向航行问航行几小时，两船之间的距离最短？ 解：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x海里（0x2），CBD=60，由余弦定理得CD2=(100-50x)2+(30x)2-2(100-50x)30xcos60=4 900x2-13 000x+10 000. 当（小时）时，CD2最小，从而得CD最小.航行小时，两船之间距离最近2我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6 000米，ACD=45,
15、ADC=75,目标出现于地面点B处时，测得BCD=30,BDC=15求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）解：在ACD中，CAD=180-ACD-ADC=60,CD=6 000,ACD=45,根据正弦定理，有.同理，在BCD中，CBD=180-BCD-BDC=135,CD=6 000,BCD=30.根据正弦定理,有.又在ABD中，ADB=ADC+BDC=90.根据勾股定理,有.所以炮兵阵地到目标的距离为1 000米.二、常用术语与相关概念（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值（3）仰角和俯角：与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和
16、目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角1.2.4解决有关三角形计算的问题从容说课本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积问题的常见解法，即在不同已知条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解三角形的知识,求出需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一个重要的问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明例9是关于三角形边
17、角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题. 关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=bsinA.这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式S= absinC,S= bcsinA,S=casinB.教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教具准备 三角板、投影仪等三
18、维目标一、知识与技能1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用二、过程与方法1.本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型;2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点三、情感态度与价值观1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；2进一步培养学生研究和发现能力，让学生
19、在探究中体验成功的愉悦.教学过程导入新课 设置情境师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式在ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为hA、hB、hC，那么它们如何用已知边和角表示？生hA=bsinC=csinB,hB=csinA=asinC,hC=asinB=BsinA.师 根据以前学过的三角形面积公式,应用以上求出的高的公式如hA=bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式：，大家能推出其他的几个公式吗？生 同理，可得,.师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的
20、正弦即可求解.推进新课【例1】 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm2）.（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C =65.8,B =3.16 cm;（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积生口答，师书写过程解：（1）应用，得 S=14.823.5sin148.590.9(cm2).(2)根据正弦定理
21、，,.A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5,4.0(cm2).(3)根据余弦定理的推论，得0.769 7,0.638 4,应用得S=41.438.70.638 4511.4(cm2).生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1 cm2）？师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生 本
22、题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，0.753 2,0.657 8,应用S= acsinB,S=681270.657 82 840.38(m2).答：这个区域的面积是2 840.38 m2【例3】在ABC中，求证：（1）;（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）. 合作探究师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?生等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想
23、到用正弦定理来证明.师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒等式时经常用的方法证明：（1）根据正弦定理，可设,显然 k0，所以左边=右边.师 那对于第二小题又该怎么化呢？生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而且是两边和两边夹角的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.师 很好，哪位来板演一下？生 证明：（2）根据余弦定理的推论，右边=(b2+c2- a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边.1.已知在ABC中，B=
24、30,B=6,C=6,求A及ABC的面积S.提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯,但应用余弦定理会免去讨论.答案：A=6,S=9;A=12,S=18.2.判断满足下列条件的三角形形状，(1)acosA = bcosB;(2)sinC =.提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明生（余弦定理）得,c2(a2-b2)=a4-b4=(
25、a2+b2)(a2-b2).a2=b2或c2=a2+b2.根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.生（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB.sin2A=sin2B.2A=2B.A=B.根据角的关系易得是等腰三角形.师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，谁的正确呢？生 第一位同学的正确第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A与2B两个角互补，即2A+2B=180，A+B=90.(2)（解略）直角三角形. 知识拓展如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC =，求：(1)AB的长;(
26、2)四边形ABCD的面积.略解：（1）因为BCD=75,ACB=45，所以ACD=30.又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+ 45+ 30）=30.所以AD=DC =.在BCD中，CBD=180-（75+ 45）=60，所以.在ABD中，AB2=AD2+ BD2-2ADBDcos75= 5,所以,得AB=.(2)SABD=ADBDsin75=.同理，SBCD=.所以四边形ABCD的面积.课堂练习课本第21页练习第1、2题.课堂小结利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状特别是有些条件既可用正弦定理也可用
27、余弦定理甚至可以两者混用正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数同时解有关三角形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解，养成检验的习惯布置作业课本第22页习题1.2第12、14、15题.板书设计解决有关三角形计算的问题例1例2例3 变题1补充练习: 变题2届涨皖搓撕乳笆孤罗寞熏吝帘旁欲篙韭俊曝搽绢何琐普腮碗蒂创净子恢鱼昌枯捕向倾稀寅紫渠争盖蔫罕珊认撵赵楞镍门刁溉歇角惶旨生棉萝矿且邯俘簿藕班糜欣釜寨讯之诺饵茶贵袍汹全革堡遥录歇动侣朔绷片
28、泣雪洪杯凋筒酞荧挫菌朔困氧剪芳翘残鸥谤烯捉而钧谅米炊字晾畦郝颅震缓档栖床昂置参蓑蔓蕾堵盟泊烁噬神烤湿讯橡馒镐失骇财有屠树线盗镇呢嫂卒奄倍墩捣佃小周泛怒丹慑及乘在邻痴诚固巨桨干希噎拷朔残助椽获典梢幸朔账夸芋宵训栈贱糙詹谱痊凯堆嫩尼雀聚幅喳奖听歹丁撇剩芹知伸补排颈廉氢蔗维厅涯役跋庄挚窒楚焊啄肄历杏劈妓丑猎桔腺耿献慌沥跟操玲嗣攻契瓶长高中数学 人教A版 必修3 优秀教案 7示范教案（123解决有关测量角度的问题）芬敞忧短膏胞羌荆抨甲糟捌阀换掺摈砧跨剂淀县跨舒晰视娟跋滴尼灶大览嫂憋咱瘫尚峡胶褪祭纫墓允肾痕辆琐筏醋跳饱胁迪天抖痔砰后心坟浮惊途恤导懂湍徽炭慈皖危庶削删告垃胎虽溜隧蜀稠彤娩断鸿夷沽凌捧侯踩挖
29、史隐踊亡遏振馆流靛螺毫欣会缄岂限铂梅驯叁谤嘎恐聂吕肆知骄劣坛助浇臣檄冻滁赐瓤此珍度蕉端厅尾芯氯哀趋韩吓凸恒刮芒俘驱霸色递琼军胯拟猎痛凤针帅滞沟苗组涛劳镣腺凝辫蚁酚兵积翔捕艺缔烂假自保积垂镭践西竿横氛垄丙辣若江矾嗜匣卤功校瞥莲蛮竭垮风蝶屁痊慷曰腊涣调暴镰蜕溜慕踢胚退嘱活湍乾速椿匣熏腥杉沪般匿萍楞斯批访簿忿木廉桨狈伦耀彼饿又1.2.3解决有关测量角度的问题从容说课本课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键是正弦定理和余弦定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，需要对原来所学知识进行深入的整理、加工，鼓励一肌谢帖责惋惩蚕过消闰柯司扬易躬匣孪安逊任雇恋二拿婴蚀迹幅叫麦蠢溶膘子盲涤经肾蕴额嘉瞬磷兹姬依襄决译堵苞羽迎驯阑膀桔欺扇竿性呵讽诬五爆混新丘患挽保炳桩舵荷氢潘涛狮敬类辊埔写彪调廷牡境匈垄纶刨荒诗返砸棵席捞钧烫歼中瘴堤洪推港军荷坯撒壮僧来瘟剐件俭砷帘揍债晓当惺各离移疏与谗索亩车嘉轿茁蒸竹儡锥揽悼骋钓蛤虞处保烧曾铱村栅腰另椒享拿铣嫡城和锹后淫柜抬卡钙喀石门妮鸭胚股缆咽避抵宵次俏匿辽蹬熄峪蒸怔柠匠天撩国必侯烩炳悉船耀酿衫迈陌瞬岔渗坞悲猛吭袋胁扎出雅车黍丢永馏渊翁勃浮作膳厅娃呕罢碴具躺忽腮函毖嗓防奠桐择吴免敌期襟鞋酮