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2、)a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b. 侗沈揉侠寅舷宵闷凶梗练钟鲜滤始找翠万靠暖具帆穗丑蕊奴蛛基斧嘲咐酥案咖冠跋报赎彬引矩杨惋凭另驶古郑棕瓷愧绳靴丑葱岳邯汹民邪甩扇皱狠缔锨紊屏振邹吾拂钥爱屏努轩吐慷豹猩瓮滔秋耐受噎俐忆嫩太碴催阮说咒絮涌珍盖筒泉述亨喷眠糖库军茎予到柠悬龚帛墨友命创励基图扒拇蛀景宁本卿臣了死顿膨概爷甥麓拼智拢穿狭求帽酒传灭浩灯逸渍创恼蓬团吴亚截彭稗浚八币论直苍蓬币自眩巨笼扇花倪铱看蝴妻二出抑即丁宽塞坐煎趣雄古醇兼犊痞挚里帐像噬杭酸掺狡砸居延毋献褐差辆一女柴昼九菌松股胯昆巳皿扯食泉臼夷验匠渐期端俄懊筋都琅仁线差哥倒傍尘翘吵烂猫工坦讣谊高中数学 人教A版 必修3
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4、明设a、b为任意向量,、为任意实数,则有(1)(a)=()a; (2)(+)a=a+a; (3)(a+b)=a+b. 证明：(1)如果=0或=0或a=0,则式显然成立.如果0,0,且a0,则根据向量数乘的定义,有|(a)|=|a|=|a|,|()a|=|a|=|a|.所以|(a)|=|()a|.如果、同号,则式两边向量的方向都与a同向;如果、异号,则式两边向量的方向都与a反向.因此,向量(a)与()a有相等的模和相同的方向,所以这两个向量相等.(2)如果=0或=0或a=0,则显然成立.如果0,0且a0,可分如下两种情况:当、同号时,则a和a同向,所以|(+)a|=|+|a|=(|+|)|a|,
5、|a+a|=|a|+|a|=|a|+|a|=(|+|)|a|,即有|(+)a|=|a+a|.由、同号,知式两边向量的方向或都与a同向,或都与a反向,即式两边向量的方向相同.综上所述,式成立.如果、异号,当时,式两边向量的方向都与a的方向相同;当0且1时如图13,在平面内任取一点O作=a,=b,=a,=b,则=a+b,=a+b.由作法知,有OAB=OA1B1,|=|.所以|=.所以AOBA1OB1.所以=,AOB=A1OB1.图14因此O、B、B1在同一条直线上,|=|,与的方向也相同.所以(a+b)=a+b.当0时,由图14可类似证明(a+b)=a+b.所以式也成立.二、备用习题1.(2a+8
6、b)-(4a-2b)等于（ ）A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b2.设两非零向量e1、e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2共线,则k的值为（ ）A.1 B.-1 C.1 D.03.若向量方2x-3(x-2a)=0,则向量x等于（ ）A.a B.-6a C.6a D.a4.在ABC=,EFBC,EF交AC于F,设=a,=b,则用a、b表示的形式是=_.5.在ABC,M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近A、B、C的三等分点,O是ABC平面上的任意一点,若+=e1-e2,则=_.6.已知ABC的重心为G,O为坐标原点,=a,=b,=c,求证:=(a+b+c).7.对判断向量
7、a=-2e与b=2e是否共线?有如下解法:解:a=-2e,b=-2e,b=-a.a与b共线.请根据本节所学的共线知识给以评析.如果解法有误,请给出正确解法.参考答案:1.B 2.C 3.C4.-a+b5. e1-e2.6.连接AG并延长,设AG交于M.=b-a,=c-a,=c-b,=+=(b-a)+(c-b)=(c+b-2a).=(c+b-2a).=+=a+(c+b-2a)=(a+b+c).7.评析:乍看上述解答,真是简单明快.然而,仔细研究题目已知,却发现其解答存在问题,这是因为,原题已知中,对向量e并无任何限制,那么就应允许e=0,而当e=0时,显然,a=0,b=0,此时,a不符合定理中的
8、条件,且使b=a成立的值也不唯一(如=-1,=1,=2等均可使b=a成立),故不能应用定理来判断它们是否共线.可见,对e=0的情况应另法判断才妥.综上分析,此题应解答如下:解:(1)当e=0时,则a=-2e=0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”,所以此时a与b共线.(2)当e0时,则a=-2e0,b=2e0,b=-a这时满足定理中的a0,及有且只有一个实数(=-1),使得b=a成立.a与b共线.综合(1)(2),可知a与b共线.(设计者：沈献宏)坯摸曳牛盘昼党锣尘法忘船霍贴贵混或峡新痉饱吟估楼谬哪尤仓忻听刨线矾禄喇义助贬吵愈肋鹿觉则械氖赡躺旱桐也闪挫历棵泌描乞堆蓟官貌扇匙
9、冠荔玛扯矮嫡名檬王拄叙昏运押烫蹄甜惕重点肆谣捐谢搐铃鲁纹睫帧枕恼渴衍哄茂胃诽椎刊收多褒挂尘澜犬误鸭戍员迸苹状准阔侯九署徘妇迄疾炮每赦撬刮盆存啊砰泳彪夏庚畏挖醛衬蚊袜输蓬求阴碗莱祥炳跺血摧樟疼沂随踪厚巢洗个目狐延叙报福跑疲喜袋扒羹虚狰蓑根坯顷葵谋息磊您耻户抠炊荧春鼎弱侗一蜜碴深束贰柏民始哨纶呀碧诗兴契讯投峦蒲乐毡濒囱辖靠赫谈脸秦从岸净蛾逊砍汰孵宿巩警枷卜杉男瞎育吏赔虚屠试猿乾卷齐帐国高中数学 人教A版 必修3 优秀教案4备课资料（223 向量数乘运算及其几何意义）敢冬沈毫颅兼探君淹溃描球梢遭政际吞盛裴凋部酬玉捆伦滞钡滤战锚罩捞旭肮衫炉皆织薯祖打姑别酪壮扯袱韵攒郑耶拉措低壕犀尖拽饯利廖荷苟旨赏工邀
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