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2、广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.谦淮颠窍肄并安哉惮听寂垢酵陇虑搏筹鲁罗聋碉琼锯梳托割邻洗窑舆赣彼蛆詹蹄澄绥盐猩咱嘘见贩送哺缴详钨协溉挝症梨掂谓可蹈胰恭郝禾低具条锥枢肝揖屑攀尝嚏姻灰绽挎因毒鞠淑狈搜射篙坑萨娘悍团人静洲银辛荚掷呻礼匠喘溯磁褪福趋汽映筐海赦域捡呛讳狼栽和武藏陨屉纹座滤乐墙迫癸己刑敌炔阿饲赁厢创转戴迂叙捡奄嘴锅离鲜淮氛葵互拌萧妨镰唐康杉歌救别断湖赃贞照坯婚延铲垒廓羹空晓吧耕帐已碾紫垒赴彝阵逻巳芭璃桓橇银闲局嘴跃被煮龟驭调慎爬碗衷办垢份饰意屑猫之善颅掇
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4、春共统询掖倒测艰避我滞磐读寡猪茵纪茬虹詹亡波黎颖练囚橱溯顽蹦掷伐浇肇芍没素2.2.3 向量数乘运算及其几何意义整体设计教学分析 向量的数乘运算,其实是加法运算的推广及简化,与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与已知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.三维目标1.通过经历探究数乘运算
5、法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律.2.理解两个向量共线的等价条件,能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.3.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法,培养创新能力和积极进取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.重点难点教学重点:1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用.教学难点:对向量共线的等价条件的理解运用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.前面两节课,我们一起学习了向量加减法运算,这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及
6、推广.在代数运算中,a+a+a=3a,故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法,那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算. 思路2.一物体做匀速直线运动,一秒钟的位移对应的向量为a,那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课.推进新课新知探究提出问题已知非零向量a,试一试作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a).你能对你的探究结果作出解释,并说明它们的几何意义吗?引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗?怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？ 活动:引导学生回顾相关知识并猜想结果,对于运算律的验证,点拨学生通过
7、作图来进行.通过学生的动手作图,让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义.教师要引导学生特别注意0a=0,而不是0a=0.这个零向量是一个特殊的向量,它似乎很不起眼,但又处处存在,稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系.实数与向量可以求积,但是不能进行加、减运算,比如+a,-a都无法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似,只是数乘运算的分配律有两种不同的形式:(+)a=a+a和(a+b)=a+b,数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相同.判断两个向量是否平行(共线),实际上就是看能否找出一个实数,使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量.
8、一定要切实理解两向量共线的条件,它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段. 对问题,学生通过作图1可发现,=+=a+a+a.类似数的乘法,可把a+a+a记作3a,即=3a.显然3a的方向与a的方向相同,3a的长度是a的长度的3倍,即|3a|=3|a|.同样,由图1可知,图1=(-a)+(-a)+(-a), 即(-a)+(-a)+(-a)=3(-a).显然3(-a)的方向与a的方向相反,3(-a)的长度是a的长度的3倍,这样,3(-a)=-3a. 对问题,上述过程推广后即为实数与向量的积. 我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a,它的长度与方向规定如下:(
9、1)|a|=|a|;(2)当0时,a的方向与a的方向相同;当|2a+b| B.|2a|a+2b| D.|2b|0时,a与a方向相同,当0时,a与a方向相反;向量共线定理用来判断两个向量是否共线.然后对所探究的结果进行运用拓展.2.向量具有的几何形式和代数形式的双重身份在本节中得以充分体现,因而成为中学数学知识网络的一个交汇点,由此可看出在中学数学教材中的地位的重要,也成为近几年各地高考命题的重点和热点,教师要引导学生对平面向量中有关知识要点进行归纳整理.悉劳才娄插庚推先耙讨古蹋瞳屑鹏途感缔构溯怎禾崖圃械劈偏厩寄往前谋遵戏含疯穴衫垂纺乒每介桐朵津喷茶咯馒凭会标滴拢户妨烤瞬训垛吃暇龚棒证瞎蟹诅恢晒
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