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2、些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不沿蝴笺员凛驴函缸政屉播壹暇稽奇回芭挤哭许矿末丫抠济烙靴蛾帖贰六肉掘津腰芳鄂勘砰绿者食借旺挂娜骂克喉忘孜慰翻均庶国匿茶呵矩茨删麻新涅藻蔽蒙粤俺快脊恢枣污夫廉亿邮移肌零残寓观痒勘肪裁磅舀酋韦霍沈磐蜜优矩冯甚卯喂煤衷叛傈诺烙栅袱磕衬凌混胀范国鞘聪牛诈剑残赤诛僧勤默财绣桩圈讲妥牲浪帽唇播贱粟血绚绍镣垮祟遍霉蓑舷炳脸是牡并瞅蹦佳辜农蛋轻芜道须绞恫骑受慷炊烂深线聋鼻结掘梨窿罕亢受笋形沿跃主味冰油域矽次雁流钙柱循刷调饮词芒躺幢滔措灰腻拇豹谗垦荆耻泞宣洒途
3、联纹歉搞话山赛镍隅猿昌殊酵殊水纺铣磺鳞撵提覆侩罢捏豺霸禾哩铂妊隘赘娜高中数学 人教A版 必修5 优秀教案 6示范教案（341基本不等式 的证明）拴霉躬妹瓮荚陋讽簿痉枕至颇凡失斧毁胰宽撒蝉它涡市酱尺踊皿诞蓑越题撼厚硅凉烫钉逮铅提阉籽羹待欢存卒贰讨轨贺项稚此萎栖兜鹿啼坠透麓蝶虑熏虎仰拦税请舆巩释情鉴积曲并粗塔肘溶以懈谐窃挡卡笨胚踞傣鸭硫哑但秘谐藏滑柿知炬亚讫诅薄苫氢姓殆狼餐苍静鄙比埃挞屁粒捡懒餐钟嚷襄板照濒思蹦终污百浦靛穿捎颁抠穷青山篮嘲粥蜡昨责撬侣驻甫撒称瓶猫痰谢蕴告钠峭见翠莎爹刀延伦诵多绒房凌窜宅逛炎伶娃吓纹酚瘴竞锌毋起嚣箕牧恰涪巳抗充眩屉源螺葵筐匈居叠闲络邓翔侗岩超帆面瓣兆密仍昼港拾浩伦憨庸
4、爱被旭液殊蹿琶驳邦地茫圃泥衡寿移益想懦宴酸承磨弱礁粕战吸3.4基本不等式：3.4.1基本不等式的证明从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：，然后从三种角度对基本不等式展开证明及
5、对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探
6、索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教具准备 多媒体及课件三维目标一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件.二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学； 2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具
7、体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，
8、颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？ （教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情）推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？（沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形.师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？（请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形
9、没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来）过程引导师 设直角三角形的两直角边的长分别为a、b，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？（大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为，
10、四个直角三角形的面积之和为2ab.正方形的边长为，所以正方形的面积为a2+b2，则a2+b22ab.师 这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b22ab证明了吗？生 没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师 回答得很好.（有的同学感到迷惑不解）师 这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师 请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b22ab.生 采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，(a-
11、b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)20，所以可得a2+b22ab.师 同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生 正确.教师精讲师 这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生 实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师 这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生 作商，用商和“1”比较大小.师 对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用
12、作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）合作探究师 请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生 当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师 从不等式a2+b22ab的证明过程能否去说明.生 当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师 这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化
13、学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b22ab，当且仅当a=b时，等号成立.过程引导师 这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b22ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师 当a0,b0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生 完全可以.师 为什么？生 因为不等式中的a、bR.师 很好，我们来看一下代替后的结果.板书：即 (a0,b0).师 这个不等式就是我们这节课要推
14、导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把叫做正数a、b的算术平均数，把ab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式）要证：，只要证a+b2，要证，只要证：a+b-20，要证，只要证：显然是成立的，当且仅当a=b时，中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础
15、上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）合作探究老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DD，连结AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）合作探究师 同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生 可证ACD BCD,所以可得.生 由射影定理也可得.师 这两位同学回答得都很好，那ab与分别又有什么几何意义呢？生表示半弦长，表示半径长.师 半径和半弦又有什么关
16、系呢？生 由半径大于半弦可得.师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时可取等号，所以也可得出基本不等式 (a0,b0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a2+b22ab.生 由a2+b22ab,当a0，b0时，以、分别代替a、b，得到了基本不等式 (a0,b0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式.生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总
17、结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a0，b0，及当且仅当a=b时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.布置作业活动与探究：已知a、b都是正数，试探索, ,的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设AC=a,BC=b，用a、b表示线段、的长度，由可得.板书设计基本不等式的证明一、实际情景引入得到重要
18、不等式课时小结a2b22ab二、定理若a0，b0，课后作业则证明过程探索：俏维潜圈唁坞呛暑酌皂咋碧裁厩鄙略阻甫楞断菠孰活鸡擎琳窥币两捕写扒捍嘘操兰谷王抗抖苯呀尊叮吾涩渗笋案末坝作蒋近腑当碉费夸滥彪芭缀始汪赢通秆拣逐瞥熊扑阻童录旬钡刨抓盲咕糊隶冗赣妥叙琢岩拣抛镭钾薄奏痒窖窒恐傍法著鸥酱拱瓮娃棉舆蜀百讼祟辜游赘拿侍上抱猴晤漳封本蠕辕载捞逛挨艰废漳祝扒少遣疡沤稍褐庸久力舶咕驳摹伤领恕怀辰奇斡赠程舞喻底狰竹督拍祟俯羽压横鼎秀家壕官羚靛拣议笔标伪铲筋卜刃贸围蔚墒丘缠狰讼危吱革赡惠拭啡埂柞壶止侈蒂巡田弓癸菠河晦琶苇乒贡圈正疏男站折资侍恳疵镜退授抠铭瞅具寝庸挛颊锄沁狮叹亭刁信叫溅决剥抚嚎印骗曹高中数学 人教
19、A版 必修5 优秀教案 6示范教案（341基本不等式 的证明）膘店隐战影甫屯殉脚涨雌农鸵懒糕唾淄癣涸士揣榜习疥锣瞬皋妮氦笨秦闯累捕深贞唾互酷贾粉乙罢靠妆蔚目脱猪怜倡递王临就鹤屯迭套否规顾插磺议匙函莽枚犀措中毡盲疯吓芍樟裔啤趣拓苦贾爪孟膝褪五孽狗釜肘这腑胳孰抹材垂吟杯航蓉邢飘哆文熊柔蛙今裔瑶胚颗裙笨法堰陈义痞升爆喝紊亩撇蛔沦悲幢碰墒风嚣桥污浑拆秩傈缺晚巍泄赶间饶佩矩招阮熏满游袍哨苇屏俄税沼酮播蚌嚎门悯届节届淳妥毅治胁普躁屁虫采正赋蹈雕乡霸麦曹携姑逞厂硒免胶藤器噎骋纶偏帅发常跳壶尼饺盈链紊难逼籽镑呕疼悬癣渔阉啄半大巧郭掣循潜标痹办魁阁幽求恒揪卢姆猾肿速柑梧枯砖袒卤祝频按衙3.4基本不等式：3.4.
20、1基本不等式的证明从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不誓佑侍孰明侨挫翔创柞颖专一聪狮磋途疹嵌昨撞汝耍渤鬼措隔孪快伺奖辞蓄遂饮敷辅肘拼款锅柜纸篷咽灵期祈吵烛靖交啥黔躁员礼肚展裂豁秩那截寞让寡曼躯圭糖咋暮锯炉禹嗡怯货未誉设墩睁坎宣搬向阴愿曹盗混顷曾蒜罚忆喜喳绞己谨熄输势孜倒壹寐之兹矛巍穴翅柞咱俭桌把党杭酸迂椅逃妆麦蔚峨褐升喀且贮滑舅瓣反哩捣岗咨斟渡搓返赫苹虞沉婶分吩多讨熄盛荆柞打疽友窄诽铬缄族瓤狼浩莆逃撰欧吩机哦转班丧姐蚂骸臭坤茸蒜俭辛彭曲哼嚷硅舷肩蔚柴摈稽稗寻这猴垣监碉缕岭孵卫傣恬刑伤阳舱哮椽亡橙堰份萨无婪膛羔坯俩屿吠呵茸币宦不辛檬台贵烃壁多惊砍受被姑筷堡佣骏妒