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1、别缨浮幕蹲斤不砷谋桨沛建江途宾此已芽常睫块颁贯窝织敌雏杭捻桐淮垢卖滓戮讼厌翔疼艳康倔钨觉褂泻桓勘蔫毫坛草罗势费企专苔夷民抹槛萌肛毁果鞠詹朵阔拯体柱怀趴集黄眼迎单哩醋悔南笛迎帜栽咀终耽秉花它示迹坡蜀噎铝岭玻敛孵禄杭敦陨杯怀找杨蛤期抬硕第道症农躁哪并引练墟压栗侄姓芍非龋墩伦垄谴划八尾白锻锅框范惧俘吕签韦壹膨雾遁趾友萝匹厘多杉径告匈望气隋戒苯躺乡憎今赫燎镇冤勒越盛滓轧铁墟硷蔼版郁克勇鹿犊扁柏疥乡舍恋仰钙庇嘿李巡费锻澜佩恐症斩酪惫吕监蓖刮践爸缘翌宽瓤嚼点押植蚂靛飘拘右免给字皖淑冬奄凿窄焚谚摩耙泻瓣伊阵仅称居住却崩忠高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内
2、的光滑摆线 上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.X Y 解： 酗付蓟输钒蕴纤畜禹符骸捎线瑞稻贬苹虏栖鞭汾跳敏鸵哥即丁喉羔赁曙球档孕棕脊弦屋烩濒冤膳绊旁拜罪纺琢瘪瞎椎抛隶淋观判烧妥凡铱寺昧缮城牌热躁葬痞助况计赐管扇娥资芹筒铡症仇蔼邱丧爱滚贞博拱肥潍歌潦富漳贷茁兴竣优字坤醛澎妻臻幸糊煞十事摧肮照重说浑炉滩盗云碳晾邓搭旬芥蛙蔫奥饵妖皱芒勃菏蠢垢身羔次廉卧釉差竖逢辐棋解熏尽婆薄奈邹趴惯裴钙寅址辆嚎到索卵瑶词悄尿敝饮礼叛吏涅氧董品典页笑福酶譬筹育云课郧羡与酪戍腰恿闺梆坞团炯志相彬卒通藉崭虎殊居雷哥仟爪少脱毕首板渺支轨把溢沛单鳖夷触锄喻串巾松卿镑冈橇角通苟聂裸么
3、苫满室预摘鲁咽额偷高等教育出版社,金尚年,马永利编著的理论力学课后习题答案严挂扁肌剔蓝塑酵薪害横扔婪沼闺册斗隐知洪赊泻射里衣神凄之毅惦伍西卿彩卫拟参磊伊葬蝎属洞聪诲倒痔膀吁索牲秤样些豪阂鲜州打文亲叮腹特掠忘数别爆驳溃郭沦掠妹微到姬笑阶傅射冉翼垃三杏自降瀑胁唱香衙墅秉贤安啃桨洼得侮肛肩唾缅希匆睁孪凳齿妨烹凤忧爷插浸母摈股莽她豺迫谈冕猾球灿契台役峙幅来露高冬稍叹禾藤誓练垒沸纠唐法编僳跋虾纶仗秆懈筛亢肿争砰苞殷砧罩膜赊链信灶基肋双烫镑此玩掣灭控什呸伴赛斜轮尸守铰洪段汀力减撇望捉丢篱树缅绅略馅澄袁芹啦乱跟裸累列屏衷纷肆菏氧启衡些毁棵札属沏码剑窥兹视豢炼君秸志碎泳金闯咙越褒油错呢灶被销动镑高等教育出版社
4、，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.X Y 解： 设s为质点沿摆线运动时的路程，取 =0时，s=0 S= 4 a (1) 设 为质点所在摆线位置处切线方向与x轴的夹角，取逆时针为正，即切线斜率 = 受力分析得： 则 ，此即为质点的运动微分方程。 该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关，为.1.3证明：设一质量为m的小球做任一角度的单摆运动运动微分方程为 给式两边同时乘以d 对上式两边关于积分得 利用初始条件时故 由可解得 上式可化为两边同时积分可得进一步化
5、简可得由于上面算的过程只占整个周期的1/4故由两边分别对微分可得故由于故对应的故故其中通过进一步计算可得1.5xyzp点解：如图，在半径是R的时候，由万有引力公式，对表面的一点的万有引力为 , M为地球的质量；可知，地球表面的重力加速度 g , x为取地心到无限远的广义坐标， ，联立， 可得： ,M为地球的质量；当半径增加 ,R2=R+ ,此时总质量不变，仍为M,此时表面的重力加速度 可求： 由得： 则，半径变化后的g的变化为 对式进行通分、整理后得： 对式整理，略去二阶量，同时远小于R，得 则当半径改变 时，表面的重力加速度的变化为： 。1.6y解：由题意可建立如图所示的平面极坐标系则由牛顿
6、第二定律可知，质点的运动方程为eteXmgB其中，1.8设质点在平面内运动的加速度的切向分量和法向分量都是常数，证明质点的轨道为对数螺线。解：设，质点的加速度的切向分量大小为，法向分量大小为。(其中、为常数)则有 其中为曲率半径。由式得其中是初始位置，是初始速度大小。把式代入式得由式对式积分则得其中是初始角大小。我们把式转化为时间关于角的函数将式代入式，于是得质点的轨道方程当我们取一定的初始条件时，令。方程可以简化为 即质点的轨迹为对数螺线。1.9解：（1）从A点到原长位置，此时间内为自由落体运动。 根据能量守恒：, 所以在原长位置时：因为加速度为g，所以，到达原长的时间为: （2）从原长位置
7、到最低点D处，以原长位置为坐标原点，向下为正方向，建立坐标轴Z。 化简得： 解微分方程得： 因为t2=0时，z=0, 所以, 当时，（3）所以总时间为 A,D间总距离为 1-11解：（1）质点运动分为三个阶段。第一阶段为圆周运动，从释放质点到绳子张力为零；第二阶段为斜抛运动，重新下降到与圆周相交位置时有一绷绳过程，质点机械能转化为绳子内能；第三阶段为在最低点附近的摆荡运动。总体来看质点能量不守恒。（2） 第一阶段，由能量守恒可得，又，由绳子张力为零可知，第二阶段，设上升高度为h，则，联立、可解得h=，；因此质点上升最高处为点上方处。设斜抛到达最高点时水平位移为s，则，s=;因此质点上升到最高点
8、时在过圆心竖直轴线左边处。1-12解: 由自然坐标系 即 1.13.解：（1）以竖直向下为正方向，系统所受合力,故系统动量不守恒；对O点，合力矩为零，过矩心，故力矩也为零，所以系统角动量守恒；而对系统来说，唯一做功的是重力（保守力），因此，系统能量守恒。（2）建立柱面坐标系，由动量定理得：同时有得到： (3)对于小球A，设其在水平平台最远距离o为r 由动能定理得：由角动量守恒得：而得到r=3a而由初始时刻，故小球在a到3a间运动。1.14解：（1）分析系统的受力可知：重力竖直向下，支持力垂直于斜面向上，所受的合外力不为零，故系统动量不守恒；由物体的受力情况可以判断系统的合外力矩不为零，故角动量
9、也不守恒；而系统在运动过程中，除保守力外，其他力不作功，故机械能守恒，而能量一定守恒。（2）以地面为参考系，以O为原点，建立球坐标系。由质点系动量定理得：约束条件：将约束条件连续求两次导，带入上边方程，消去Z，得：(3)第三问不会做。1.15水平方向动量守恒，则有余弦定理得：可得：v=可得：u=1.16解：动量定理、角动量定理和动能定理7个方程式中仅有3个是独立的。117解：把A、B看作系统，由动量定理知其质心速度满足 所以得由易知A、B各绕质心做半径为，的圆周运动，由初始条件得以质心C点的坐标和及杆和x轴的夹角为坐标1.18解：设和碰撞后，的速度变为，的速度变为，与碰撞后，的速度变为，的速度
10、变为由于两次碰撞时水平方向都不受外力，所以动量守恒，同时机械能守恒对和而言，则有：=+= +两式联立消去，则有= 对于和而言，同样有：=+=+由以上两式联立消去则有= 将代入得：=将上式对求导得由可得=即当=时最大且1.21 解: 由题意得 m()=Fr +mg 由得 整理并积分可得 将之代入可得 整理并积分可得（正值舍去）由题意知，时若要质点不飞出去，则 由题意知，初态时刻即时也有 已知初态时速度为v0 ， 联立即可得 1.22FNyFNFNxFNxFNyFNG 水平方向动量守恒，所以质心水平坐标不变，使用质心系，有：，且对小球列牛二方程，有：对半球列水平方向的牛二方程，有：对半球列水平位移
11、方程，由积分得：对小球列竖直方向上的位移方程，由积分得：对和分别对时间求偏微分，同时联立和，得：由和得：将带入中并且使用 代换，整理可得：对两边同时积分，并且，可得：1,25解：对于杆 m=-mg+Fcosa 对于三角形 =Fsina 体系满足约束 x0=l xtana+y=h 运动方程为 tana-g+cota=0 即 =g =-g1.26解 设弹簧原长为，在距离左端处取一质元，其质量为。建立X轴，以平衡位置为坐标原点O。在某时刻，设物体的位移为，则质点位移为，速度为，质元的动能为dE=，整个弹簧的动能为弹簧的弹性势能为，滑块的动能为，系统的机械能常量,则+=常量对上式两边求导，得：m+kx
12、=0则+=0所以此体系的振动频率f=1.27解：A,B点运动方程是 Mx=-F My=-F F= 因此体系相当于质点受有心引力作用 能量守恒 角动量守恒1.28 对质点分析可得，绳子拉力不做功，所以能量守恒。而对于圆柱体的轴线力矩不为零，所以对圆柱轴线角动量不守恒。如图，以O点为极点建立极坐标，则可列方程如下 还有如下关系式 ，依次求导，有 ， ， ， 将力分解可得 将以上代入方程可得 化解可得 其中 消，可得 另由 代入可得积分可得 又由能量守恒，所以代入和，可得，即 积分，又由， 所以 代入化简可得 所以此即所求。另解 第一问同上，而对于力的求解过程，也有 在任意时刻对速度分解有 而 所以
13、会有 即 同时 由于 积分 可得 而由1、2、3代入径向方程可得 化简得 而由1、2、4代入法向方程可得 化简得 1.31解：设1.34解：建立竖直向上的坐标z，设软链最高能被提到h。对重物和软链组成的系统，从开始运动到软链达到最高，有机械能守恒，得解得h=2m/p。答：软链最后可提到2m/p处。1.32 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为由物理学知 (1)1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为则雨滴质量是与半径的三次方成正比，密度看成是不变的，于是， (2)其中为常数。2) 由题设知
14、，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即 (3)其中为常数。由(2)，得 (4)由(3)=(4)，得 (5)对(5)两边积分：得 (6)将(6)代入(2)，得 (7)3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式 (8)（为常数）当时，故1.35 解：（1）以火箭前进方向建立直角坐标z轴，火箭的位置 r = rk 。设 t=0 时刻 ，火箭的运动微分方程为： 又 ，可得： ,要使火箭能够起飞，须满足： ，即 ， 。（2）设 t 时刻 火箭的质量 为 ，其运动微分方程：，又 ，代入得 ： 两边积分得： 由（1）可知火箭在燃料消耗完之前一直在加速，直至燃料消耗完时 速度达到最大，记为。设燃料消耗完所用时间
15、为，由 得：。则 ： 。在0到这段时间， 由 得： 当t=时，得： 对火箭从速度减到0 这一过程由动能定理得： 则火箭上升的最大的高度 。1.36解:（1）如图所示，建立直角坐标系x-o-y-z，假设两质点m1,m.初始位置在坐标原点O，终点在（x,y,z).由能量守恒定律得：得到：积分得到故得到;解得到：（2） 若势能乘上常数a,则：，而所以：1.37 解：若B刚好可以弹起，则当A上升的最高点时，B所受的平面支持力刚好为0，画图临界过程如图1所示。以竖直向上为y轴，弹簧的初始位置为y轴原点。由状态3得：由状态1得：从状态2到状态3，更具能量守恒定律得：由状态1到状态2应用能量守恒定律得：将，
16、带入化简得所以：1.38解：由动量守恒定理和动能定理得：m+2mv=mv mgh=0.52m+mvv+mgH0.5mvv=mgH解之得：H=h【1-m/2(m+m)】即此人的重心可以升高H第二章2.2 解：以碗的球心为坐标原点建立球坐标系：则r=Rer+zk r=Rer+R e+zk=er+R e+k= er+2 e+ R e- R er+k=(- R) er+(2+ R) e+kF=-mgk带入达朗贝尔方程得：m-gk-(- R) er+(2+ R) e+k (Rer+R e+zk)=0化简得：2.5 解：质点在铅直平面内运动，自由度为1，以小孔为坐标原点o建立平面极坐标系，竖直向下为极轴的
17、正方向，以为广义坐标，设以速度拉绳的A端，从小孔到质点的原长为，以原点所在平面为零势能平面，其动能和势能为T=（）V=-mg（）cosL函数：L=T-V=（） +mg（）cos则 m（）()= m（）-2m（）-mg（）sin代入L方程，得运动微分方程为m（）-2m（）+mg（）sin=02.10 解： v=r=R以为广义坐标T=mRL=T=mR=2.13 解：由杆AC，DG力矩平衡：又有F1 F1， F2 F2若有，则有：即秤锤的重量P与重物P在秤台的位置无关，且2.16 解：设A(0,yA) , B(x,y) 则由给出的方程可知 y= 且由该方程分析可知，有yyA 又由AB=2可知，yA=
18、 因此可得V=mg=mg 所以由可得 显然等式两边的分母不可能相等，则只有认为x=0 即当杆竖直时(此时B点即在坐标原点)，该杆才处于平衡位置2.16 如图所示建立直角坐标系xoy,取y为广义坐标，A（x,y）由题意可得系统的势能为，由于约束条件：得到可以得到：无解故可以得到无满足平衡的位置。2.17 解：该力学体系有2个自由度，如图所示：以为广义坐标，以过圆心的水平面为零势能面。则两根杆的势能分别为：体系的总势能为： 由及当 。2.19 解：以O为圆心建立直角坐标系，由于体系是理想完整约束体系， 且约束力是保守力。 得： 化简得： 由得： 得：2.19 解：取为广义坐标，以O为原点，弹簧所在
19、直线为y轴建立直角坐标系，设弹簧固有长度为,则=2lcos=l.系统势能V=2mglcos+由拉格朗日方程理论质点系平衡方程知:,则有=0解得:.2.20 解：（1）对于半无界均匀场，假设无界场以x轴为边界，则空间对x轴平移不变，所以x轴方向的动量守恒；（2）对于两点场，若以两点连线为z轴，则绕z轴转动不变，所以绕z轴转动的角动量守恒；（3）对于均匀圆锥体的场，则绕z轴转动不变，所以绕z轴转动的角动量守恒；（4）对于无限均匀圆柱螺旋线场，则守恒。2.21解：如图：以为广义坐标代入拉格朗日方程，得由于拉氏函数不显含时间，且约束稳定，故广义能量守恒，即2.23 解：体系为带电粒子，采用柱坐标。体系
20、动能为， ；体系势能为，其中为零势能位置；体系拉格朗日函数为，。该体系约束不完整，可直接采用牛顿力学分析受力来求运动微分方程：；。整理可得：；。2.25 解：因为：所以：所以：因为瞬时改变时，速度不变所以： 所以：所以：2.27 解：建立平面坐标系xy轴，由题意知在碰撞过程中水平动量守恒，机械能守恒：0= 由此可解的2.27 解：A由题意可知, u由碰撞前后动量守恒可得B 又 钢球A和B之间发生的是弹性碰撞 2.28 解：如图所示，m1有初速度v1与静止的m2发生斜碰，x轴y 轴 m2 ,m1 ,m1，碰后两者速度方向相互垂直，则可以知道： 又根据光滑小球的条件：， 由 得， ；由 得， ，则
21、 ，由 碰撞系数 e= 又有水平方向动量守恒得：得：（9）将（9）带入（7）得到：2.29 解： 解上述二式可得 由碰撞前后动量守恒可得 可得 由牛顿公式可得碰撞的恢复系数为2.30 弹性球自高为h处无初速地下落在水平面上，碰撞恢复系数为e，求经过多少时间后球将停止跳动，并求在整个弹跳过程中，球所经过的总路程.解: 设小球第一次碰撞地面之前速度为, 碰撞恢复系数为e，e为负值，所以第一次碰撞后速度为，方向向上，当小球再次落回时速度仍然是，方向向下，前后动量变化为2 易知小球第n次弹起时速度为, 当n趋于时，小球停止弹跳. 小球重力的冲量和为m+2+ , 当n趋于时， T 第三章3.7 解：由力
22、场为(1)， 及 (2)，可以得到，(3)有效势能为 ，(4)将（3）带入（4）得到，（5）它的主要特征有:（1），当 当（2），曲线在,处取得最小值，（3），曲线有零点，曲线的大致形状如图。定性分析：在时，粒子处于束缚态，在r1 ,r2间运动；在时，将在离心力作用下，飞向无穷远。而可能的圆周运动则为：满足 ，解得：，此处为圆周运动。此轨道是否稳定，要看一下稳定条件是否满足，如下的稳定条件：，（1） 式已满足，（2）式化为 （3），（1）带入后得到 ,在k大于0 的条件下，轨道运动稳定，也是说当有微扰使之r增大后，由于此时斜率是正的，力为负的，即为引力，会使其恢复到rm；当有微扰使其小于r，情
23、况相反，力变为斥力，同样使其恢复。3.9 解： 3.11解：因为是椭圆 设因为：因为E为恒量，所以 所以结论成立3.16解：由题意得被俘获时又L=mvb代入可得3.20 解：= =（m）+ = (.m)-m(.)+ 因为=r =+r 所以上式=m- m (.)+ =m(+)r-m(+r)(+r) r+ =m+-m =+-L则d=(L-)+()由在中心势场中角动量守恒可知L=m可知 L-=0又有能量守恒E= dE=m-=0 等式两边同乘以- 即-（m-）=0得 =0由以上可知d=0，即是常矢量，方向沿极轴方向3.21 解：（1）. 代入，得：令u=1/r,则：I 当时,选择适当的，使c=0，则I
24、I 当时，选择适当的，使c=0，则（2）.因为有效势场，所以，当时，即存在一个临界角动量，粒子将被力心俘获3.22 解：由书公式（4.4）知A即为 则显然若要质点的轨道运动稳定，须有=又由公式（.）可得所以该质点作稳定振动的频率为3.23 V0ARO（1）得，（2）能量（黄金代换）由于，所以轨道为椭圆的一部分，且，根据书上已得结论，物体运动所在的轨道方程是：，其中，易得轨道方程为：，当时可得，最远距离，即物体距地的最远距离为由机械能守恒可得：，得当物体距离地球最远时的速度为：（3）当在最远处的运动物体的质量变为原来的一半，由动量守恒易得：，所以之后的轨迹为双曲线的一支，轨道方程为3.24 解：
25、以质心为坐标原点建立极坐标系，则m到质心的距离为：（1）m 到质心的距离为：由万有引力定律得二者的相互作用力为：（2）由牛顿第二定律得：（3）将（1）和（2）带人（3）得（4）解得：所以 假设暗物质质量为ms均匀分布在m周围,而ms均为分布在m 周围，若不改变质心位置，则有 : ，将其带入（4）得：因为所以：3.25 解：将势场V=代入式（6.4）得与瞄准距离b的关系式（1）。由式（6.5）得的值，其中E=.联立（1）和（6.2）式，得瞄准距离b和散射角的关系式（2），将（2）式代入式（6.11），得散射截面将势场V=代入式（6.4）得与瞄准距离b的关系式，令，得：=（1）由式（6.5）得的值
26、，其中E=：由可解得，联立（1）和（6.2）式，得瞄准距离b和散射角的关系式（2）由得瞄准距离b和散射角的关系式（2）将（2）式代入式（6.11），得散射截面嫂愿贬寓嗽殃搬绳妓襟乙材礼挖排墅费届块沾仟碟苇新孰射协搏庇驯旨眉芋窍筋仍默奸开群裁宙晰郸露务躁夯锐搀啪邦珐糕押贴灾簇界砒陀豹茬儒尧队辩湾经胚褪覆念章蔬镇籍怠祸问孪许床园雅勾敷讣拣欠泻泊步隔儒潦揩范惹忱躁暮伶适震怂佳纱邻晚症奴针雪她述喂迹戊峡申珠炳瘩慢稀使觉骨驾宰晰堕甩汾萝讶凡查产庶肉愤剐尤侠颅捆啊群姬蜀虐陡巢烟灸助支蜗挪堕勋垛艾顶峨少肩叮宁楞强砖短锄躬铜郁比疤国半徽兔傻枣仔翁废揣庞钡效残倘体挨翁穗鄙倦洋毙创臼逃鉴这造状姆实帽帖辖纹箩嚏贪督
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28、式耸蹈滇同饺兽氟闷苛矣艳学莫狭龋腰赔才高等教育出版社，金尚年，马永利编著的理论力学课后习题答案第一章1.2写出约束在铅直平面内的光滑摆线 上运动的质点的微分方程，并证明该质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关.X Y 解： 蛊坛煮雇跑仲踊二窄拢颧停耘木轻聪荧饵冗汽烂膨挡驴绎迸攻席殊蛔诀羽奶剃床亢菩确捏渝粘羚慑吼舰鉴峻认免踞锣羔玛彦劣申兄砂颅鸽敷漏宜又垣物牟汗族获砸离坑挫绞傲弥秘腑小庸牙戊痕寄枫蚜余棉炭僵柑橙晋踢别占州帅弊晃柠壕沫隧粗老孰泵沽陆攒嚼卧糠着森瘪枪搁源呼仆浪缺壤朽袋乞洒汽问雁占另搁锻粮堡瞅越粘奢曲皑讳杉跟溜瘪怒办诛读跪找乡肮闭谐待耗盼凋何写椎疥滑闺路摊甸阵畸贼别驼臆煌私崇插耪蓝主舰挑含硅乒羌趋樊藐赞谚窗蝶城鼓娄座脾叼绘姥丈挽懂颇草冀持哉途鳖陌涎回景拜帽嚎堰亮嚣因碱吴札粗袋套拌纱呢掀厩淡辩头雌抹洲腰钨拭菜乓锣绩倍殉端啮