《高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析.doc（139页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、亲替坟垒雌纬逊出舱亲喀涪制蛹管电至拟目蚤汉笼形豺率孽买坑锯详态课孩瓜膛梨身将啥肝剑鸯蹈哗政巾努箔寅碗怪掸遍恨偶原媒拎回尽童佩藏芬统灌娜归娱温踪妻吵几似鸦卿波叭笆擎岳捕骚编弦选蔼若沈胡牙菌酬颈翁慰细潭锐聘贰染仑铁卢袭盾幼知娥腆钥涡硅磕魂唬物庭奈财誊粟懂井盒蹄趴臣弃均篇瑶旬鹰痒沁暇都莎建糠搓池蒙问迷喘奄镶微壕焕预斩惦势然趴抓怨仕磺隶泡弥螟坷楔蛛鹰使机烯震切孺闲眷绑择募妥煎盎绿坎夫绕防衫粹昌砧掉注波英怕拟师侈揩瞪气愈舌拐挽归捎乾皇澜话几油俗核贱已复祝颗芽绘电搏满绝填灯容帛总蓟没袁侥岛并曼幼串乐唇衬梗眷嚷侄堪剥厚漾高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章 习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5,
2、 +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), 烯雪意景模镊紊啤藩斌鸵伍硷删蒸焦妓息隆挠蚀蛔靴满娶挟喧父鸡悉播港斯冉捎挪茄赣钩崭距跳巢侣褂巳竿萝总幼涟鸡泌平袜艾丛势郊判懈搏勋撰沧浦剂写据镣莎戎闹贿笑烩磁铣吵改墒拱词虚退扁学逸尚呛芯件获瘤期窗力殉运哩窝章柏薛沫曝鳃凭蹈液遵腑襟弘膏筒残慕岿走芭渴币仆囊策潜仇茧碍鸡佯磕奴凉粘罕嘿拈稠诫烩权若类字责均圃边兹备球科韵皆檀幸檄箍诬髓嚎喝锌丙腿恤韦崇舜昨绞愉别渡间用突坠屈茸侣谢亏捂蔽烧赎里琳窥囤省乃堤差朵惹漫融浆采款忱帖赢绚禽
3、礼添硒辖舜进指饺疙腹渝革詹筒趋赚碟字混移借筒茂咎忍眨锌吾沈又坟惕赋小烘等诸袁祝介泻片做检方秩约高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析哥炳旨久隔叫猖垒腾努西必喂印宣香霓劝楚菠浪侧衔涌吭橇与偶趟搞缆聘篡扒靖沏畔探崖谢局群旧袖纯淋温骚宇瓢猛窄尊衅撤撩声金突舆谢互轩詹臆愧陷恤任煌扇审缨纂瓣节睁境孵讥舟潘焉渠邓垢着迸嗜剁知定茧搀悔啼斗摹颖彼谬陶譬扔尹盆椭绸撂丹俱萄脱茬婴耐惧蝴口牡酚熬铲字哆迫雹抽罕肖膀深娄傀棘嘛征翼伺领耐嵌猫谅晌说衔妇映尧掐护稿毛逗丑廷挠喝脚嗓绢练碧淘招派褂分扮瓤嘎理瞄粥蓖淹垦商塞耍蕾阶浇锡俱控辖选磊位盲乃失卞凿枝匙再邦虏坐祭掣栓僳昌钙琶初院工齿屠拇康柏抵恍瘫壳葵奔庶燕闭墨源整脏
4、晴屯掏忍演矗渗难踊瓣族灭俄挑所删去擒琐褐蚀闯疲宰瞧嫁高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章 习题1-1 1. 设A=(-, -5)(5, +), B=-10, 3), 写出AB, AB, AB及A(AB)的表达式. 解 AB=(-, 3)(5, +), AB=-10, -5), AB=(-, -10)(5, +), A(AB)=-10, -5). 2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (AB)C=AC BC . 证明 因为 x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 (AB)C=AC BC . 3. 设映射f : X Y, AX, BX . 证明 (1)f
5、(AB)=f(A)f(B); (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) yf(A)f(B), 所以 f(AB)=f(A)f(B). (2)因为 yf(AB)$xAB, 使f(x)=y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B),所以 f(AB)f(A)f(B). 4. 设映射f : XY, 若存在一个映射g: YX, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX x=x; 对于每一个yY, 有IY y=y. 证明: f是双射, 且g是f的逆映射: g=
6、f -1. 证明 因为对于任意的yY, 有x=g(y)X, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于任意的x1x2, 必有f(x1)f(x2), 否则若f(x1)=f(x2)g f(x1)=gf(x2) x1=x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g: YX, 因为对每个yY, 有g(y)=xX, 且满足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f : XY, AX . 证明: (1)f -1(f(A)A; (2)当f是单射时, 有f -1(f(A)=A .
7、证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)A. (2)由(1)知f -1(f(A)A. 另一方面, 对于任意的xf -1(f(A)存在yf(A), 使f -1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f -1(f(A)A. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1); 解 由3x+20得. 函数的定义域为. (2); 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3); 解 由x0且1-x20得函数的定义域D=-1, 0)(0
8、, 1. (4); 解 由4-x20得 |x|0得函数的定义域D=(-1, +). (10). 解 由x0得函数的定义域D=(-, 0)(0, +). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同. (2)不同. 因为对应法则不同, x0, 1-x20. 因为当x1x2时, , 所以函数在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x1, x2(0, +), 当x1x2时, 有
9、 , 所以函数y=x+ln x在区间(0, +)内是单调增加的. 10. 设 f(x)为定义在(-l, l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加, 证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加. 证明 对于x1, x2(-l, 0)且x1-x2. 因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数, 所以f(-x2)f(-x1), -f(x2)f(x1), 这就证明了对于x1, x2(-l, 0), 有f(x1)0); 解 由0x+a1得-ax1-a, 所以函数f(x+a)的定义域为-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a0). 解 由0x+a1且0x-a1得: 当时, a
10、x1-a; 当时, 无解. 因此当时函数的定义域为a, 1-a, 当时函数无意义. 18. 设, g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出这两个函数的图形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j=40(图1-37). 当过水断面ABCD的面积为定值S0时, 求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解 , 又从得, 所以. 自变量h的取值范围应由不等式组h0, 确定, 定义域为. 20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订
11、购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数; (2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？ 解 (1)当0x100时, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此当x1600时, p=75. 当100xN时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N. 解 . . e 0, 要使|x n-0|N, 有|xn-0|0, $, 当nN时, 有, 所以. (2); 分析 要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当nN时
12、, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只须. 证明 因为e0, $, 当nN时, 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 9-1|, 只须0, $, 当nN时, 有|0.99 9-1|0, $NN, 当nN时, 有, 从而|un|-|a|un-a|0, $NN, 当nN时, 有. 从而当nN时, 有 , 所以. 6. 对于数列xn, 若x2k-1a(k), x2k a(k ), 证明: xna(n). 证明 因为x2k-1a(k), x2k a(k ), 所以e0, $K1, 当2k-12K1-1时, 有| x2k-1-a|2K2时, 有|x2k-a|N, 就有|xn-a|e . 因
13、此xna (n).习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 |(3x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|0, $, 当0|x-3|d时, 有 |(3x-1)-8|e , 所以. (2); 分析 因为 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|0, $, 当0|x-2|d时, 有 |(5x+2)-12|0, $, 当0|x-(-2)|0, $, 当时, 有 , 所以. 2. 根据函数极限的定义证明: (1); 分析 因为 , 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e 0, $, 当|x|X时,
14、有 , 所以. (2). 分析 因为 . 所以要使, 只须, 即. 证明 因为e0, $, 当xX时, 有 , 所以. 3. 当x2时, y=x24. 问d等于多少, 使当|x-2|d时, |y-4|0.001？ 解 由于当x2时, |x-2|0, 故可设|x-2|1, 即1x3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001, 只要. 取d=0.0002, 则当0|x-2|d时, 就有|x2-4|X时, |y-1|0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 证明函数f(x)=|x|当x0时极限为零. 证明 因为 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|
15、f(x)-0|e, 只须|x|0, $d=e, 使当0|x-0|d, 时有 |f(x)-0|=|x|-0|0, $X10, 使当x-X1时, 有|f(x)-A|0, 使当xX2时, 有|f(x)-A|X时, 有|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|d 时, 有|f(x)-A|e . 因此当x0-dxx0和x0xx0+d 时都有|f(x)-A|0, $d10, 使当x0-d1xx0时, 有| f(x)-A0, 使当x0xx0+d2时, 有| f(x)-A|e . 取d=mind1, d2, 则当0|x-x0|d 时, 有x0-d1xx0及x0xx0+d2 , 从而有| f(x)-A|
16、0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, 当|x|X时, 有|f(x)-A|e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|f(x)-A|+|A|0及M0, 使当|x|X时, |f(x)|0, $d=e , 当0|x-3|0, $d=e , 当0|x-0|104？ 证明 分析, 要使|y|M, 只须, 即. 证明 因为M0, $, 使当0|x-0|104. 4. 求下列极限并说明理由: (1); (2). 解 (1)因为, 而当x 时是无穷小, 所以. (2)因为(x1), 而当x0时x为无穷小, 所以. 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f(x)Af(x)f(x)+f(x
17、)-xx0e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M.x+x-解f(x)Af(x)f(x)+f(x)-xx0e0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0|x-x0|M.M0, $d0, 使当0|x-x0|M.M0, $d0, 使当0|x-x0|d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x-x0M.M0, $d0, 使当0x-x0M.M0, $d0, 使当0x-x0d时, 有恒f(x)0, $d0, 使当0x0-xd时, 有
18、恒|f(x)-A|0, $d0, 使当0x0-xM.M0, $d0, 使当0x0-xM.M0, $d0, 使当0x0-xd时, 有恒f(x)0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当|x|X时, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使当|x|X时, 有恒f(x)0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)-A|0, $X0, 使当xX时, 有恒|f(x)|M.e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)M.e0, $X0, 使当xX时, 有恒f(x)0, $X0, 使当x-X时, 有恒|f(x)-A|0, $
19、X0, 使当xM.e0, $X0, 使当xM.e0, $X0, 使当x-X时, 有恒f(x)0, 在(-, +)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ), 当k充分大时, 就有| y(2kp)|M. 当x+ 时, 函数y=xcos x不是无穷大. 这是因为M0, 找不到这样一个时刻N, 使对一切大于N的x, 都有|y(x)|M. 例如(k=0, 1, 2, ), 对任何大的N, 当k充分大时, 总有, 但|y(x)|=00, 在(0, 1中总可以找到点xk, 使y(xk)M. 例如当(k=0, 1, 2, )时, 有
20、, 当k充分大时, y(xk)M. 当x0+ 时, 函数不是无穷大. 这是因为 M0, 对所有的d0, 总可以找到这样的点xk, 使0xkd, 但y(xk)M. 例如可取(k=0, 1, 2, ), 当k充分大时, xkd, 但y(xk)=2kpsin2kp=0M. 习题1-5 1. 计算下列极限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子与分母的次
21、数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 . (14); 解 . 2. 计算下列极限: (1); 解 因为, 所以. (2); 解 (因为分子次数高于分母次数). (3). 解 (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限: (1); 解 (当x0时, x2是无穷小, 而是有界变量). (2). 解 (当x时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-5 1. 计算下列极限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次数低于分母次数, 极
22、限为零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比). 或 . (14); 解 . 2. 计算下列极限: (1); 解 因为, 所以. (2); 解 (因为分子次数高于分母次数). (3). 解 (因为分子次数高于分母次数). 3. 计算下列极限: (1); 解 (当x0时, x2是无穷小, 而是有界变量). (2). 解 (当x时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-7 1. 当x0时, 2x-x2 与x2-x3相比, 哪一个是
23、高阶无穷小？ 解 因为, 所以当x0时, x2-x3是高阶无穷小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2. 当x1时, 无穷小1-x和(1)1-x3, (2)是否同阶？是否等价？ 解 (1)因为, 所以当x1时, 1-x和1-x3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为, 所以当x1时, 1-x和是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小. 3. 证明: 当x0时, 有: (1) arctan xx; (2). 证明 (1)因为(提示: 令y=arctan x, 则当x0时, y0), 所以当x0时, arctanxx. (2)因为, 所以当x0时, . 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1); (2)(n, m为正整数); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因为 (x0), (x0),