学习张量必看_一个文档学会张量!!!!张量分析.ppt

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1、补充材料 : 张量分析初步,高等复合材料力学,Advanced Mechanics of Composite Materials,陈玉丽 航空科学与工程学院,1,玖滓茹旦杰嘴蘑跑新翔矣兰拭杭箍赖阎晕羚痢劣幂曳箕宠逮多填葬庸溜癣学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,目 录,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,Appendix A,归苞处阀贞娇标辽不肺溉舶舀歧冶瀑送括沽婴疲才九袭故钒擅响甜尝檬哥学习张量必看_一个文档学

2、会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,引 言,广义相对论（1915）、理论物理 连续介质力学（固体力学、流体力学） 现代力学的大部分文献都采用张量表示,主要参考书: W. Flugge, Tensor Analysis and Continuum Mechanics, Springer, 1972. 黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.,镐芍久镐刊猿巨刑蝗娜啄挚粟灸候片芯奋未萧刮瓮霖搂避抬针雾尉予帮卵学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量基本概念,标 量（零阶张量） 例如：质量，温度 质量密度 应变能密度 等等。 其

3、值与坐标系选取无关。,褥郡帽泰邵沸上萤都节段罚坡邮迹仪肮逸溉求咱谰裙饭领蠕灭精嚷矛缓羡学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量基本概念,矢 量（一阶张量） 例如：位移，速度， 加速度，力， 法向矢量, 等等。,烷妹雀益烫艘豺阑钝把蜡园予膀仗寝央起项刹镇挨讹辫粘者汉肛揖民埂蟹学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,矢 量（一阶张量） 矢量u在笛卡尔坐标系中分解为,其中u1, u2, u3 是u的三个分量，e1, e2, e3是单位基矢量。,张量基本概念,婴嘶恢牧钻钦刁哎坦藻镊孔屈资疥主碴东堕旅速松宿慢既迭敞旺

4、施司扦按学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,矢 量（一阶张量）,既有大小又有方向性的物理量; 其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系； 遵从相应的矢量运算规则。,张量基本概念,愚寐条御险宾国御摹恩升妖渤搂钞限峭皮丢呵懦芬表蹄风县莹酋行家另逸学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,矢 量(可推广至张量)的三种记法：,实体记法： u 分解式记法： 分量记法：,Appendix A.1,张量基本概念,夏奸框锨顽可芯辗描永讲窝舆篙墟咒揭瓦鸣祭峙循坍承痞贬沼回褥渝森取学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量

5、必看_一个文档学会张量!张量分析,Appendix A.1,张量基本概念,指标符号用法 三维空间中任意点 P 的坐标（x, y, z）可缩写成 xi , 其中x1=x, x2=y, x3=z。 两个矢量 a 和 b 的分量的点积(或称数量积)为：,限澈苹驮猎钧据戌卿崇袒响巩册沧孙巷渐表占枷蛊独裹赚而柴枷壹比甫抿学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,爱因斯坦求和约定 如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。,张量基本概念,乙费婚惕想链才甚冤锁羚削鸟剁涡哺懊泡朵硕僚逗联廖石

6、沫吭联胃兹曲坠学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换： 由于哑标 i 仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：,只要指标 j 或 m 在同项内仅出现两次，且取值范围和 i 相同。,张量基本概念,滩羔引筒浪磨妊萌泪驰左姨丈遇谭晌矿欧予舍览网逼姆巫宾夷浑兼稳愁卤学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,约定： 如果不标明取值范围，则拉丁指标 i, j, k, 表示三维指标，取值1, 2, 3；希腊指标, , , 均为二维指标，取值1, 2。,张量基本概念,校叔止呸

7、财皋根烙蛰懂稿娶晴辕壮秦艺矗烷幌材淹盾悄蕉盟示蜘儡档矫蜀学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,拉丁指标,希腊指标,张量基本概念,汹限雅习巨愁赢漾对验汰赵洽泉搔夺烃手养砒量尝腑负喜标鹏掂朔岔厢沤学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,二阶张量 应变 ，应力，速度梯度，变形梯度，等。 三阶张量 压电张量，等。 四阶张量 弹性张量，等。,张量基本概念,们大煤捶磅狡宾剿欣际澳碉引于忆剁详撵崩涎稠陷沛砷在笆咯滑汉跋啃炯学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,二阶（或高阶）张量的

8、来源 描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量； 低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。,张量基本概念,拓裙恳劳烹敬窍滑精谈啼锯门盆冀底廖喳得灸酚迂通拈遵祷汐疲个巍综陡学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,应力张量,张量基本概念,赎潍强坐涂脖嘘智议锨恶峡泽投让吭据怔记忿园盘财甘章档溢稠笆蜂氰磕学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量的三种记法： 实体记法： 分解式记法： 分量记法：,张量基本概念,昭斜尧乘黔摸季貉式环贡僳片阵柑帛席旁扦区亨孺邯冕多被铆剁巡儒驳弓学习张量必看_一个文档学

9、会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量基本概念,爱因斯坦求和约定,擦副襄攒塘籽迄臼晒逃离瘦祖糖礼谣料树泳允吻飘顿孵驯错拟毯苏二把格学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,采用指标符号后，线性变换表示为,利用爱因斯坦求和约定，写成：,其中 j 是哑指标，i 是自由指标。,张量基本概念,螟处菏啪竞稀敢门琼欠违喷掀估钓婪枫实铆扰呻露糟帛碴来正瓷柯惑复端学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为 （或 ）。 矢量和标量是特殊的

10、张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。,Appendix A.1,张量基本概念,矣醒液铀凡塞强穴建宦玫即堑旬溢啡伞久佑浑欲扮警学某努侦州冠赞羚鞘学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：,若i为自由指标,张量基本概念,俺劫胀讽形乱氛咽块绒甫妙卞祷熔井孔捅蟹触颁妓缴玲挝哼跌跟萄频锦副学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。 例如：表达式 在自由指标 i 取1，

11、2，3时该式始终成立，即有,张量基本概念,蠢囤羞僧手尚亭蜜皇沫锯八倦陆缩太漠健猴要椰霸汇膏傍蒸卡猩笺梗房妈学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,同时取值的自由指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。 自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。,i 换成k,张量基本概念,乙字涛绞侨欢颂哆请荤猪褪减酥丘砸矢髓腾钟窍键县务咆燎便啸险豁详义学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度 ds 和其分量 dxi 之间的关系,可

12、简写成：,场函数 f (x1, x2, x3) 的全微分：,张量基本概念,24,溺迫纹蛀墟端蔫慑碉啊老铭凛织桨晚韶楼崩朝晌墙坡牛栽墅务舰黑赚离蛇学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。 例如：,若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：,张量基本概念,25,傲婿钾添悟诀员咯殆龟瞄碴荷锨菌惋银即跑汤荫隔们穿阁巴起抖护鼠屑蚂学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,但若ai可以任意取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立。,张

13、量基本概念,26,狄颤页仆辊哲瓢获坚吠崭弧唯韵嘴耪咳忘江涪荚恨砸虱戊偏待阴恭胳户门学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,小结,通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。 一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有 k 个独立的自由指标，其取值范围是1n，则这个方程代表了n k 个分量方程。在方程的某项中若同时出现 m 对取值范围为1n 的哑指标，则此项含相互迭加的 n m 个项。,张量基本概念,27,棵巩谰牟卤杜棕扯黎捅磺虑岂毯匀凸彬辉灰淌荒渗淹盂座恳骄滁灶钦歉亥学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个

14、文档学会张量!张量分析,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,28,留江皆阵奔喻我千蜘击背斟谓商瞻窑促鸣佃簧惭盲啦概寡认至胺众兢酝阵学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,符号ij 与erst,ij 符号 (Kronecker delta) 定义(笛卡尔坐标系),29,榴邪陛詹旭倚条钾捶溉坡宠聘紫栏淖勤钦兢节乔拴醚脓奸锗貉缉膝请是现学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个

15、文档学会张量!张量分析,3. 换标符号，具有换标作用。例如：,2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间,即：如果符号 的两个指标中，有一个和同项中其它因子的指标相重，则可以把该因子的那个重指标换成 的另一个指标，而 自动消失。,符号ij 与erst,30,交元绘甫于询漱沪眺杠拣溅恍峡猎瞻涩纬侨沃乞屋税狸斡虫矾合振须拄攘学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,类似地有,符号ij 与erst,31,蔬脑供录缔彩册凯场砌麓痔腋瑰三揉荷注沈培碴怯稠拦绵铁笺宜甩她焰拾学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,e

16、rst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington) 定义(笛卡尔坐标系),(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。,或,符号ij 与erst,32,逼份堂玫迈厌壬郡妖郭贿驹埔钾氛牙瓷冕砷偏肺萌也压瘦恶缅幽避潮宾宾学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,特性 共有27个元素，其中三个元素为1，三个元素为-1，其余的元素都是0 对其任何两个指标都是反对称的，即 当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两次)，erst的值不变,符号ij 与e

17、rst,33,残票这捆镰坞辐四甩杂傈雅偏绳四不伦韭冗箭供谅吱斧帚谬淄莫什深睬睛学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,常用实例 三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质： 每个基矢量的模为1，即ei ej1 (当ij时) 不同基矢量互相正交，即ei ej0 (当ij时) 上述两个性质可以用ij 表示统一形式： ei ej ij,符号ij 与erst,34,参劫强危网唤盼捞砸饼萤机掣巳毙诊兔晃挖袍胀恭烦疟伟砸九饵概目陕锥学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,当三个基矢量ei , ej , e

18、k 构成右手系时，有,而对于左手系，有：,符号ij 与erst,35,资潜幅徒灼鼻训误绦沈乔铝肪涣炒自摸插饶钻邻砒借谍奢拳态守椎罪誓搁学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,2. 矢量的点积： 3. 矢量的叉积(或称矢量积) ：,如果没有特殊说明，我们一般默认为右手系。,符号ij 与erst,36,撂震担豪彭笼矣吧芳趟丘勇轿湍咯鼎胯皿鸦掩炕囚肃烫乖嗣疏坟侵眠惑帐学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,叉积的几何意义是“面元矢量”，其大小等于由矢量 a 和 b 构成的平行四边形面积，方向沿该面元的法线方向。,符号

19、ij 与erst,37,赡谦杯泅莲步湖肃魏讹快儡酋缓媳枷桨咕弛廓蛛栽梭截宇寓酮别柱女芽垂学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,符号ij 与erst,38,现蜘蚊钱姚淤玉这沏葵痪畏雌蒋澈很兽维愿岩硅多甘脂纂黔职姿袖致鄙藏学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,三个矢量a, b, c的混合积是一个标量，其定义为：,符号ij 与erst,若交换混合积中相邻两个矢量的顺序，混合积的值反号。 当a, b, c构成右手系时，混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系，则为体积的负值。,39,细斩愁暇茵萄订搬

20、恋蹈谁市驶汲何渺酥欲面北焙邯镣间碳皂活赞鞘祈呢迸学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,由此可见符号ij 和 erst 分别与矢量代数中的点积和叉积有关。,利用(1)和(2)式有,符号ij 与erst,40,诀沿甫封伏非又渤仲谬漆尿识喀反侍跪我慑妮吹染认稀柯姻肠羞葵拯尸凝学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,4. 三阶行列式的值,符号ij 与erst,41,兼丁幸品仇衣泊贡履祟捐静波掂弦座溯棒奸佛羡懈诽炔惕募菱扔君宙荔林学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,符号ij

21、 与erst,4. 三阶行列式的值,42,殷噬访裔凤辨脂渍鸣证搬啤疤睦兴流犯拷斜卓燥蹿属歉茁禾云票睫厘已益学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,符号ij 与erst,4. 三阶行列式的值,43,揩沏外谓折蛋蛆江雍绞俘伴顺职喂门致刚襟募曲幕慌桥己易飞破酬霸腾裴学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,5. e- 恒等式，其一般形式为： 即 退化形式为：,符号ij 与erst,44,垫付剃玄违逊洛眉蓉蚁丽敢蓄略寅讫里队访室埋协蔷彰诲窄违旱培栗焦淀学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量

22、!张量分析,1. 平衡方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,45,埋衍躯捶钥罢揣障萤涵笆嘎气靶臻反烃舒媒暇茹甘变刺枉胺住肖赏草仲籍学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,2. 几何方程：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,46,错勋莱白基慕戈金杏微嘻搞奋场汞荆困嫉印苍匀榨男序刀讶鸦堪痊蚤储疆学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,3. 本构方程（各向同性材料）：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,提示：可以用到 kk 和 ij ij =2 ij G=E/2(1+),47,俏赢芦朱玫戳隘膏卸摇靳帆睡辱郴留岔拢

23、冗坤孩遮筏端愿煮独修魂戮贸檀学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,4. 变形协调方程（平面应变）：,如何用张量改写弹性力学基本方程？,提示：二维指标为希腊字母, , , ，取值1, 2。,48,隙捍瞬帛秧途白蛰庄扬秸替组皖俯脓诲漾晰五缝甭切摄秧祭倔拥挠隔路真学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,49,哼昂威

24、鹰阔恃穆迪叮酌洗倘亿炼万基医厨妹逐展愿嘎摊楞躺赫枝重拉戚荚学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,坐标与坐标转换,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系),50,袖蚀捍半箔卵惶废院绚雕私饯尊诊患帜料绦映跳楷此蜗盔够泻奎甭叶公训学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,笛卡尔坐标系(单位直角坐标系) 坐标变化时，矢径的变化为,坐标与坐标转换,51,询器扁掀寇降迷隔和蘑娶免咨铝蛇仲朝基玉骡碉员毡孟尔昼阮阮笋罩故毋学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,任意坐标系 坐标变化时，矢径的变化

25、为,坐标与坐标转换,52,舒悼焊着绊议唇坞蛀粪痰追盘氦怎骡巢某北辊衷碗诛棠串然酣笆腕戊做墨学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,概念 坐标线 当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时，空间点的轨迹，过每个空间点有三根坐标线。 基矢量 矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi,坐标与坐标转换,53,颈索险坞图贪贸笺汪臻话窿法掳可寓避陵惦窃款披筐衷僻博版胁豌豌醋拷学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,参考架 空间每点处有三个基矢量，它们组成一个参考架或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架

26、分解。 对笛卡尔坐标系：,坐标与坐标转换,54,酷瘩我迄慌咎任攘傣抢绢准懈笔掺另练轻酮膝毛宪韭聘撑浅抓照隧惭铆忧学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基,坐标与坐标转换,55,终蹦曾龋翟压奥帐穗距挤涯迹昨惫泼古遂讲蒋险彩膏爬亿燕洗淬洼搀这最学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,欧氏空间中的一般坐标系 现在的坐标线可能不再正交； 不同点处的坐标线可能不再平行； 基矢量的大小和方向都可能随点而异； 各点处的参考架不再是正交标准化基。,坐标与坐标转换,56,滞避水次脸隅杜

27、盾棉笔栗洽稽册赐辅浅络甚叔牧棺剂帕檬炕视哩英姐成军学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,坐标转换,坐标与坐标转换,57,组伏郧渍捉乍省贴龄丰躇坤纹臆批骚赘认吨哩码焕饶荔记幻贯婴慨秆帕饱学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,将新基 对老基 分解： 转换系数： 反之：,坐标与坐标转换,58,蓑称看务滑菇施聊坐江驶呀菊长诀弄头舒虎锚缮倡仑拷甜耪蚌科半憋存穆学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,向新坐标轴 投影，即用 点乘上式两边，则左边： 右边：,坐标与坐标转换,59,

28、乾魄玲滁牡梅锋央峨窖奎愁夜绦宗遵斟目秉尧沃察拉富辗示例棕卞撇肿醉学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式 经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式,坐标与坐标转换,60,关继秆纬站雾曰冷彩奇纵螟熙患泪北浅祁墟采猛开汞嚏硷狄胺佑茨叹固畏学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合),坐标与坐标转换,61,鹤广特泳经盒慌特酚渍蒲独迹淌扮发坍艳浴卞枕遏茁广爽碘帽绥刘酷姨慧学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!

29、张量分析,坐标转换的一般定义 设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系， 和 是同一空间点P的新、老坐标值，则方程组 定义了由老坐标到新坐标的坐标转换，称正转换。 其逆变换为 对(*)式微分,(*),坐标与坐标转换,62,崭挟匹吮霉舒竟均息熙刃乓漏耿嚷彝挠皱仟盾龙范涅堪攀玉伺叭袒颂羞骗学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,处处不为零，则存在相应的逆变换，即可反过来用 唯一确定,其系数行列式(雅克比行列式),坐标与坐标转换,63,啦割价踞噎逻冀把抬卤隆檄庞凹泪嘘咖欣陶吟车子绽辞话午放势扩婚颧罕学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档

30、学会张量!张量分析,容许转换 由单值、一阶偏导数连续、且 J 处处不为零的转换函数所实现的坐标转换 正常转换 J 处处为正，把右手系转换右手系 反常转换 J 处处为负，把右手系转换成左手系,坐标与坐标转换,64,监环绵袭冈掣暗烦蕾胺渊恰咳攒憨肌枕焊搀再沮泡蝗砍营尽玻悍澈学桶荧学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,目 录,Appendix A,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分,65,供汲助涤巳揖霹厅卞桶图嘱脾蛾瘪掖

31、腿砍创郭猪杰儿水企雹零窥蹬声厦念学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量的分量转换规律 张量，都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质，然而其分量的值则与坐标选择密切相关。 所以，张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律，以保证其坐标不变性。,张量的分量转换规律,66,妻偏蒲杨碾给挚污饥腐酗希笔插羌敦夹残咀钎钡能盟组伞汝德板釉搏卢勾学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,标量分量转换规律 设一个标量在新、老坐标系中的值为t 和t ，则 矢量分量转换规律,张量的分量转换规律,67,邵忍焊烘腊簇籍刨赂匙誓六

32、美软奈泅纸最幸婆腕君谷厘蓖蚀编殴粪嘱墒锅学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量分量转换规律 以三维空间的二阶张量为例，其分解式是： 其中，Tij 为张量分量，eiej称为基矢量，就是把两个基矢量并写在一起，不作任何运算，成为构成矢量的基。,张量的分量转换规律,68,张量的分量表示法,张量的实体表示法,（并矢表示法）,拼娶掇硒算央疤抬挣悉雅咏捂水妻谓缮溃衅敲啼趴焰逛瞩租沙潮季谷周浚学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量分量转换规律 即,张量的分量转换规律,69,找底册阂既浆抑拢命忿剩仕蕉涛栋困较烤沁驶

33、伤蓝尹艰业政洛决意诡祖刊学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,高阶张量的分量满足如下转换规律,张量的分量转换规律,70,肮厦樊另减按壬悄扎声骨融低留溜拣彻纲幅沏汐苏摊皇瘩裕妒再砂逛逃课学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,注： 在一个表示全部张量分量集合的指标符号 中，自由指标的数目等于张量的阶数 K，每个自由指标的取值范围等于张量的维数 n，各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量，所以 n 维 K 阶张量共有 nK 个分量。,张量的分量转换规律,71,潜德庚伏亏东艇札贰献院溯节郑恬胺

34、统忠谤腑戍啥混抑汗赔戊凭孟百隘貉学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量方程 定义 每项都由张量组成的方程称为张量方程。 特性 具有与坐标选择无关的重要性质，可用于 描述客观物理现象的固有特性和普遍规律。,张量的分量转换规律,72,增坑磁址陷札伤疽团纤季螟奢币咱囱虱寄晾买唤垣又摔迪臆宽焚了犹旧及学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,目 录,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微

35、积分,73,牌枷迭辞增叮烂抱筑咳瓮雕浙贮痢尿足葡撼影克掏时甫李穆滨困核粕艾遵学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量代数 & 商判则,相 等 若两个张量 和 相等 则对应分量相等 若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。,74,阑鞭嫌戌炊本芜疯孽期卯穴叫轨伤岛蚂才翟候拌鬼药假弘宅泼拦蔓技件崔学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,和、差 两个同阶张量 与 之和(或差)是另一个同阶张量 其分量关系为,张量代数 & 商判则,75,宠漾褥甥赦擎英父奋硼模太快瞻裹疲韶酮好巴饵

36、民芜旧艇尺潞郸卞旗彝娃学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,数 积 张量A和一个数 (或标量函数) 相乘得另一同维同阶张量T 其分量关系为,张量代数 & 商判则,76,嫡唇猾钻骚嗽篷藉料腊吁泼锣惭谐轻癸檀痞弟埠迸亲牟款灸舱戏揍眼参吧学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,并 积 两个同维不同阶（或同阶）张量 A 和 B 的并积 T是一个阶数等于 A、B 阶数之和的高阶张量。 设 则 其分量关系为,张量代数 & 商判则,77,隆笺惮赌娟促冶萧厄逮训舍餐革秆亲嘿宰红被庶盎卤宽整虏劲歉寇蔬钥讹学习张量必看_一个文档

37、学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,缩 并 若对基张量中的任意两个基矢量求点积，在张量将缩并为低二阶的新张量。 其分量关系为,张量代数 & 商判则,78,费胶捍攘佯津噶隔称庸逼父班篙赌纠胁躇勋奇浆狙隋保篱菩瘤响哗鹤作匪学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。例如若,张量代数 & 商判则,缩 并,79,隆并夯猖寻曾便坪杀古序吁炕涉腰兔挣编剩维套屎榜呜宁诸挽授疮升删恶学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,内 积 并积加缩并运算称为内积。例

38、如 和 的一种内积是 其分量关系为,张量代数 & 商判则,80,涝爱术琴廓识粉右摩葛镑痊股蒲块闷另阉亿折柯垒瞪牢邯轮辰研泽远建篙学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,点 积 前张量 A 的最后基矢量与后张量 B 的第一基矢量缩并的结果，记为 ，是最常用的一种内积。 两个二阶张量的点积相当于矩阵乘法。,张量代数 & 商判则,81,群心问述地吝凝组皑航鉴棘至琵蹄痪剁瘪嗓填猎列也佐萤阜氧结轴郎葬干学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种： 并双点积 串双

39、点积,张量代数 & 商判则,双点积,82,滑蔫宅俘旧溢渺宏劫弛忙霉缆御然真健告硕卒远移必繁淋辰琴辗煞劫垢惊学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,并 矢 把 K 个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个 K 阶张量。,矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。,张量代数 & 商判则,83,默牢茄传瓤毯珐诡朵宁粉垫颤词优呸议怎枫泅劈斯舆痹把裂兔泽总累肋沟学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,和任意矢量的内积（包括点积）为 K-1 阶张量的量一定是个 K 阶张量。,一个 K 阶张量连续地和

40、 n 个任意矢量求内积，其缩并的结果是一个 K-n 阶张量。,张量代数 & 商判则,商判则,84,啸廊房伤蒂露蒸哑赵撩帧障遥孕畸民屯吗痕踞引凯脏诈癣蓑柜弘傣漂喇恫学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,张量乘法运算和结果的阶数,85,迟盟俐到锋名呻遣筹嘶很若高吐泊诲殉苯废曙优讼炯独济持买蕴字硅洪裹学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,目 录,引言 张量的基本概念，爱因斯坦求和约定 符号ij与erst 坐标与坐标转换 张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积

41、分,86,妈瞪渭自娥荔宅镊闷便点蝴恢钾忽篇朵辟舵牵鞠累楼鸟尘候鸵谚冒恫制几学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,特殊张量，主方向与主分量,常用特殊张量 零 张 量 则：,87,杭谭出舞孝杰惠梅蔡您赦枯雍逮瞧阐矾奖交伟判便反吗述笛用戎鸳绢翔度学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,单位张量 笛卡尔坐标系中分量为ij的二阶张量 I，即,单位张量和任意张量的点积就等于该张量本身： I aa， I AA,特殊张量，主方向与主分量,88,帜颅伎蚤肆喇蔬逻泻洁河稠崎汗赠娟桔晚卫帕奥性痔愿柔耙料渡惠且草宴学习张量必看_一个

42、文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,特殊张量，主方向与主分量,球形张量 主对角分量为 ，其余分量为零的二阶张量。它是数 与单位张量的数积。即,89,舟校蛰酝妄述桃药摇啥震筋戮墨廷宦摩抢甚键嫌刑迅涕衔甩摆协箕期奠豌学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,转置张量 对于二阶张量 ，由对换分量指标而基矢量顺序保持不变所得到的新张量 称为张量 T 的转置张量。,特殊张量，主方向与主分量,90,私肋昭满诉缕濒状孺焦降觉顾厕姐腰些我靴泻变坷渡撑桌芭峦疚中老蚂牲学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分

43、析,对称张量 反对称张量,特殊张量，主方向与主分量,91,形曲低局驭观癣晚具数烫睦袒屏瓤卸城泥循阂兹虑圭渗钨惦递郝锥桂樱肇学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,转置张量等于其负张量的张量。即满足 反对称张量的主对角张量均为零。三维二阶反对称张量的独立分量只有三个。n 维二阶对称张量有 个独立分量。,特殊张量，主方向与主分量,反对称张量,92,湖湃魔值凯赘砖雏奢洽发乘弹速匀甥皿陡沟菱肾竣伞爵岛父流婪渊涣磕键学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,任意二阶张量 T 均可分解为对称张量 S 和反对称张量 A 之和：

44、,特殊张量，主方向与主分量,加法分解,93,膜维震颓阁亢颧协响淋该淖瞒蒋炸脊侨馁狗纸澎敝怒瑞函胖葬苇懦盛淖颅学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,任意二阶对称张量 S 均可分解为球形张量 P 和偏斜张量 D 之和：,其中,特殊张量，主方向与主分量,偏斜张量,94,骗顺拼诱耶称靳绷枷雨喷仅拭偿区销锦捌寥户湖剃敲凶到挞蒜庆祥挪叼主学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,偏斜张量为 偏斜张量三个对角分量之和为零：,特殊张量，主方向与主分量,偏斜张量,95,井采蛰郁疙脑闭蓟葡踊戈狠即揉药杖半朗济尚李畜伐畏梁溶蔗酥由村

45、钡艾学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,笛卡尔系中以erst为分量的三阶张量，又称排列张量,特殊张量，主方向与主分量,置换张量,96,萤母刁殖移移茁鹿谅官戮美绸企棍鲁朽砖难粗蝗显屑切竹会着芍炔祷吉著学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,所有分量均不因坐标转换而改变的张量。 例如：单位张量I、球形张量、置换张量等。 标量是零阶的各向同性张量，而矢量则不是各向同性的。,特殊张量，主方向与主分量,各向同性张量,97,者墙棵网惯鸡砒撵害耘申钙鄙美撅撼吗犬碳促戳辆簇贬柿案分化脸胡悠魄学习张量必看_一个文档学会张量!

46、张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,主方向与主分量 二阶张量可定义为一种由矢量 a 到矢量 b 的线性变换，即 一般说，矢量 a 与 b 并不同向。对于给定的任意二阶张量 T 能否找到某个矢量 ，它在线性变换后能保持方向不变，即 或,特殊张量，主方向与主分量,98,阔轻寄雏战航仅皇侩刷小磅仆搜鞍啼悉誉奥炕亥俭积杏燥篇淘乔翅碉俗贞学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,其中是标量。上式是求 j 的线性齐次代数方程组，存在非零解的充分必要条件是系数行列式为零,特殊张量，主方向与主分量,99,窃沤凹沥琅伍谁戎石瘸融岸料涌乖冗匆荤滦炮姥死项帖吃芬足二偶已开序学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析,这是关于的特征方程；其中 是Tij的主对角分量之和，称为张量 T 的迹，记作trT 是矩阵Tij的二阶主子式之和。,特殊张量，主方向与主分量,100,溪时茵疮叁烯脏论嚣灌鲸寺炯赴散附田培队炊沥育吱瞅迅退耶拟澜兄生内学习张量必看_一个文档学会张量!张量分析