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1、2018年广东高考文科数学函数与导数问题教育价值分析与思考 庞进发，男，中学数学高级教师，教育硕士，现任广东省东莞市东莞中学数学教师、数学科教研组长，兼任东莞市中学数学教研会副秘书长、华南师范大学校外兼职硕士专业学位导师. 2009年被评为东莞市优秀教师，2018年被评为广东省南粤优秀教师，2018年被评为东莞市第三批学科带头人，2018年被评为东莞市高中名师工作室支持人. 2018年参加广东省高中青年数学教师现场优质课评比获省一等奖. 2018年主持课题高中数学问题教育价值研究与实践获市教育科研立项课题，还参与多项市级课题研究并获奖，有多篇论文在省级以上发表以及获市一、二等奖. 数学问题解决
2、的研究很多，而思考其教育价值的不多. 本文通过分析2018年广东高考文科数学函数与导数问题，探讨其中蕴含的教育价值综合体现数学核心素养、关注分析与解决问题的能力、体现多种数学思想方法，并提出函数与导数复习备考的启示. 数学问题；教育价值 期盼了一年，也研究了一年的广东高考数学全国卷终于见面了，特别是2018年是新课改以来广东省首次使用全国卷，高考试题自然成为教师们探讨的热点. 全国高考数学试题结构稳定，以主干知识为主线，突出对学生数学能力的考查，常规中显新意，给中学的教学以及高三的备考指明了方向. 而教师们对高考试题的研究，更多的是停留在试题的特点、规律以及数学问题的解决上，思考其教育价值的不
3、多. 本文笔者试探讨2018年广东高考文科数学试题（全国新课标（）卷或（乙）卷）（下面简称“试题”）中函数与导数问题的教育价值. ? “试题”再现 9. 函数y=2x2-e在-2，2的图像大致为 xOy1-22xOy1-22A. B. xOy1-22xOy1-22C. D. 12. 若函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-，+）上单调递增，则a的取值范围是 21. 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2. （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围. 函数与导数是高中数学主干知识之一，也是每年高考重点考查的内容之一. 第9题主要考查了函数的性质（
4、偶函数、单调性）、函数的图像（对称性），考查了对函数的解析式、函数图像的分析能力；第12题主要考查了函数的单调性、二次函数的图像与性质、由函数的单调性确定参数的取值，考查了求导运算能力、换元法、数形结合法、逆向思维等；第21题主要考查了带参数的函数单调性的判断、函数的零点、参数取值的确定，考查了分类讨论、数学结合的思想方法. 这三道试题都有一定的综合性，是中高难度的问题，蕴含了丰富的教育价值. ? 综合体现数学核心素养 数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质，是数学课程目标的集中体现，它是在数学学?的过程中逐步形成的. 数学核心素养包括数学抽象、逻
5、辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成了一个有机整体. “试题”中函数与导数问题，关注了学生数学核心素养的综合体现. 例如，第9题函数y=2x2-e的自变量x的结构特征是x2和x，当自变量x取相反数-x时，函数值y相等，符合偶函数的定义，因此直观可以判断该函数图像关于y轴对称. 而四个选项的图像都是关于y轴对称，仅凭此不能做出选择. 再从给出的数据进行分析当x=2时，y=8-e2，通过估算可知y（0，1），这样由图像的直观，可排除A和B选项. C和D选项的图像的区别是函数y=2x2-e在区间0，2的变化趋势，即单调性. 首先由函数y=2x
6、2-ex直观分析2x2在区间0，2上是增函数，而-ex在区间0，2上是减函数，没办法直观判断；接着可以尝试对函数进行求导运算，通过判断导函数的符号，从而得到函数的单调性，即y=4x-ex，当0 由函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-，+）上单调递增，可得 f（x）=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+0在（-，+）上恒成立. 令cosx=t-1，1，则 g（t）=-t2+at+0在-1，1上恒成立. 结合二次函数图像（如图1）可得 g（-1）0， g（1）0. tOy1 所以 - -a+0， - +a+0，解得-a. 故a的取值范围是 -， . ? 体现多种数学思想
7、方法 数学思想方法是数学的灵魂，引领数学问题的分析与解决，在数学学习中是至关重要的，同时也是高考考查的重点之一. “试题”中函数与导数问题，体现了多种数学思想方法的应用. 1. 分类讨论的数学思想方法 所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想2，这种思想对于简化研究对象、发展学生的思维有着重要的作用. 同时分类讨论的数学思想方法的应用也体现了学生逻辑推理、数据分析等数学核心素养. 因此，有关分类讨论的数学问题在高考试题中
8、占有重要地位. 而为什么要分类？分类讨论的标准是什么？这是在分析问题中学生首先需要思考的问题. “试题”第21题是导数的综合应用问题，函数f（x）含有参数a，由于a的不同取值会影响函数f（x）的变化性态，因此要对a的取值进行分类讨论. 通过对函数进行求导运算，发现a的取值影响了导函数f（x）的零点个数以及零点的大小，即影?了函数f（x）的单调性，因此第（1）问讨论f（x）的单调性，就是要对a进行分类讨论. 由a的取值对函数f（x）的影响自然得到第一级的分类标准就是导函数f （x）的零点个数有且只有一个零点时a0，有两个零点时a0. 当x1时， f （x）0，则f（x）在（1，+）上是增函数.
9、若a1时， f （x）0，则f（x）在（1，+）上是增函数. 当ln（-2a）0，则f（x）在（-，ln（-2a）上是增函数. 当ln（-2a）1，即aln（-2a）时， f （x）0，则f（x）在（ln（-2a），+）上是增函数； 当10，则f（x）在（-，1）上是增函数. 综上所述，当a0时， f（x）在（-，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数； 当-当a=-时， f（x）在R上是增函数； 当a0时， f（x）在x=1处取得的最小值f（1）=-e0，所以f（x）在（1，+）上有一个零点. 又由x-时，（x-2）ex0，a（x-1）2 +， f（x）+， 所以f（x）在（-，1）上有一个
10、零点. 所以f（x）在R上有两个零点（如图2）. 当a=-时， f（x）在R上是增函数，不符合题意. 当a 所以f（x）没有两个零点，不符合题意（如图3）. xOy1a 当-f（ln（-2a）=ln（-2a）-2（-2a）+aln（-2a）-12=aln（-2a）-22+axOy1a 综上所述，a的取值范围是（0，+）. 2. 数形结合的数学思想方法 数形结合即数形渗透，两者相互推进，层层深入，这样就能使复杂问题简单化，抽象问题直观化，是中学数学中常见的解题思想和方法，经常应用在研究函数、解析几何等问题中. 在应用数形结合思想方法时往往体现了数学模型建构、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心
11、素养. “试题”第21题第（2）问由函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点等价于方程（x-2）ex+a（x-1）2=0有两个不同的实数根，然后变形可得a=-，再建构两个函数y=a与g（x）=-，这样函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点就等价于函数y=a与g（x）=-的图像有两个公共点，然后画出函数g（x）的图像，结合图像从而得出实数a的取值范围. 这样通过分离参数转化为两个函数图像公共点的问题，避免了对实数a进行复杂的分类讨论，同时图像直观，非常容易得出答案. 从高考答卷反馈的情况分析，大部分考生选择了这种方法. 第21题第（2）问另解 由（x-2）ex+a（
12、x-1）2=0，可得x1， 所以a=-. 令g（x）=-， 则函f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点等价于函数y=a与g（x）的图像有两个公共点. g（x）=-=-， 所以，当x1时，g （x）0，g（x）在（-，1）上是增函数. 又因为，当x1时，g（x）+； 当x0，当x-时，g（x）0； 当10； 当x=2时，g（x）=0； 当x2时，g（x）xOy1y=a 图5 当a0时，函数y=a与g（x）图像有两个公共点，即函数f（x）有两个零点. 故实数a的取值范围为（0，+）. ? 对函数与导数复习备考的启示 2018年“试题”以“两小一大”的题型对函数与导数进行了比较全面的考查
13、，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，这也给2018年高考文科数学复习备考给出了启示. 1. 理解函数与导数相关概念的本质 对于函数与导数，全国卷往往以函数概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值、函数的零点等基本知识为载体，考查学生多种数学能力. 这启发我们在进行复习时要注重研究课标与考纲，钻研教材，深刻感受概念、方法的形成过程，深入挖掘函数与导数相关概念的本质，打好解决相应数学问题的知识与方法基础3. 如函数的概念形成过程在教材中是通过三个例子（分别是函数解析式、图像、表格三种形式表示的函数模型），从不同的视角让学生
14、抽象概括它们的共同特征两个集合中元素的唯一对应关系，即对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系“f”，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应. 这也是函数概念的本质，是建构函数模型的依据，不管是x与y，还是a与b，只要满足这样的唯一对应，就可以把它们看成是一个函数模型，然后用函数的思想方法解决相应的问题. 函数的概念本质是自变量x与因变量f（x）唯一对应关系，然而函数的奇偶性与周期性的本质是自变量x与因变量f（x）的等量关系（如f（-x）=f（x），f（-x）= -f（x），f（x+T）=f（x），函数的单调性的本质是自变量x与因变量f（x）的不等关系（如x1 3. 以函数与导数
15、问题培养学生的数学核心素养 全国高考对函数与导数的综合题考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式相关知识的联系，要求考生具备较高的数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养. 因此在高考复习中除了梳理知识概念、建构知识网络外，还要分析函数与导数问题的教育价值，选择合适的问题，以问题为驱动，培养学生的数学核心素养. 例如，2018年全国新课标（）文科数学第12题已知函数f（x）（xR）满足f（x）=f（2-x），若函数y=x2-2x-3与y=f（x）图像的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则xi=（ ） A. 0 B. m C. 2m D.
16、4m 该题主要考查了函数图像的对称性、绝对值函数及其图像、抽象函数、数形结合等知识方法. 函数f（x）没有具体的解析式，通过对f（x）=f（2-x）进行推理，得出函数f（x）的图像关于x=1对称. 再由函数y=x2-2x-3可知，该函数图像也关于x=1对称并画出其图像，同时也尝试画出函数f（x）的图像. 最后通过直观分析、推理，利用中点坐标公式，得出xi=2=m. 因此通过这个问题，可以培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养. 4. 以函数与导数问题提高学生分析、解决问题的能力 分析和解决问题的能力是衡量学生掌握数学知识与方法水平的标准之一5，也是高考重点考查的能力之一，对于学生数
17、学核心素养的培养也非常重要. 函数与导数的复习应以问题为载体，教会学生分析问题、解决问题的基本思路. 一般地，首先对函数模型结构进行分析，直观分析其整体性质（定义域、奇偶性、对称性和周期性等）、局部性质（单调性、特殊点和函数值符号等），然后根据解决问题的需要考虑是否需要建构新的函数模型，接着利用导数分析函数的变化性态，画出函?低枷瘢?最后结合函数图像以及推理解决相应的问题. 1 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）S. 北京人民教育，2018. 2 何小亚. 与新课程同行数学学与教的心理学. 广州华南理工大学，2018，6. 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧
18、,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。3 章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程J. 数学通报，2018，1. 4 刘秀湘. 在稳定中注重数学概念和思维的考查J. 中学数学研究，2018，8. 5 （美）G?波利亚著，涂泓，冯承天译. 怎样解题. 上海上海科
19、技教育，2018，5.语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。