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1、中学数学通项公式的解题思路探究 学好数学的关键在于做题，通项公式的求法也需要在做题中摸索探究，解一些独立思考、见解独到的题，培养学生们的数学思维。如何有效的组织数学通项公式的解题思路，是近期数学教学中的热门课题。本文以通项公式的求法为研究对象，就其在中学教学中的解题思路进行探究。 中学数学；通项公式；探究；启示 按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列an 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。 （人教A版?必修第34页B组第1题）下图中的
2、三个正方形块中，着色正方形的个数依次构成一个数列的前3项，请写出这个数列的前5项和数列的一个通项公式。 从教材出现该题的位置与教参给出的解法来看，该题的目的是培养学生识图能力，猜想归纳能力。检测学生能否根据数列前几项写出数列的通项公式。实际上我们可以对它进行进一步的探究，从而达到以点带面的效果。 一、寻找事物联系，探究通项公式的求法 思考1我们通过图象之间的变化关系，能找到第n个图象的正方形块数an与第n-1个图象中的正方形块数an-1之间的存在什么样的关系？，能否由这关系求其通项公式了？ “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说
3、也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。观察前
4、三个正方形块，我们发现一个规律第二个正方形块中的着色正方形数比第一个正方形块中的着色正方形数多8个，第三个正方形块中的着色正方形数比第二个正方形块中的着色正方形数多82个，依次类推，第n个正方形块中的着色正方形数比第n-1个正方形块中的着色正方形数多8n-1个，因此有a1=1，n2时，an-an-1=8n-1。 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西
5、晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。思考3揭示了求数列前n项和的一些方法，如等差、等比数列的前n项和公式的应用；拆并法拆开重新组合，转化为常见的两个数列的前n项和；裂项相消法；错位相减法等，对于这些方法我们需要从实践中去归纳总结。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记
6、几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。
7、知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。上述三个思考揭示了习题的本质，它对于我们学习数列，掌握数列的相关知识起到了重要作用。它让我们明白事物是联系的，我们需要在实践中发挥我们的观察能力，思维能力，创造能力去寻找解决问题的方法，去探索新的知识。 数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求。比如，数学
8、思维方法都不是单独存在的，都有其对立面，并且两者能够在解决问题的过程中相互转换、相互补充，如直觉与逻辑，发散与定向、宏观与微观、顺向与逆向等等，如果我们能够在一种方法受阻的情况下自觉地转向与其对立的另一种方法，或许就会有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。比如，在一些数列问题中，求通项公式和前n项和公式的方法，除了演绎推理外，还可用归纳推理。应该说，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、培养学生数学能力的重要方法。 只要我们重视运算能力的培养，扎扎实实地掌握数学基础知识，学会聪明地做题，并且能够站到一定的高度去反思自己的数学思维活动，就一定能把数学学好。