《APOS理论指导下的映射概念教学探究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《APOS理论指导下的映射概念教学探究.doc（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、APOS理论指导下的映射概念教学探究 APOS理论是美国数学家杜宾斯基（Dubinsky）等人提出的一种数学教学理论。他将数学概念的建立分为四个阶段，并用于指导教学实践。本文尝试通过“映射”的教学设计分析APOS理论在数学概念教学中的应用。 概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。概念是思维的基本单位，理解概念是一切数学活动的基础，概念混淆不清就无法进行其他数学活动。然而受应试教育的影响，概念的教学往往易被忽视，许多教师认为概念就是一种规定，让学生记住是主要的，“填鸭式”教学和“启发式”教学没什么区别，讲
2、与不讲效果也差不多。因此，“一个定义，几项注意”式的概念教学方式比比皆是，在高中数学教学实际中表现得更为突出。 一、什么是APOS理论 任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实。1基于这样的考虑，1991年美国数学家、教育家杜宾斯基等人提出了APOS理论APOS分别是由英文action（操作）、process（过程）、object（对象）和scheme（图示）的第一个字母所组合而成。这种理论认为，在数学学习中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组
3、成图式，从而理清问题情景、顺利解决问题。2APOS理论被引入到我国的数学教育界，是为数不多的依据数学学科特点而建立的教学理论。与传统的数学概念相比较，APOS理论教学更能体现“学生主体，教师主导”的建构主义理念，更符合学生的认知特点。 1.第一阶段操作（或活动）（action）阶段 数学来源于实际，并应用于实际。而数学教学活动就是将实际问题抽象概括为理论问题，并给予科学的定义即数学概念，同时应用于研究和实际。为更好地理解这些数学概念需要还原操作或活动，要像数学家一样亲自投入，通过实践活动来获得知识，如果没有这些物理的操作和心理的活动，数学概念将成为无源之水、无本之木。这些操作和活动过程蕴含了数
4、学概念的本质特征，教师通过创设问题情境，让学生进行实际体验，与已获得的知识进行联系和比较，引发学生的思考，引起思维和认知冲突，这样便使学生获得了对问题的初步认识。因此这一阶段的学习实质上是数学概念过程化。 2.第二阶段过程（process）阶段 在此阶段杜宾斯基认为学生需要掌握一种特殊的能力内化和压缩。所谓内化和压缩可以理解为吸收和消化。在经历了第一阶段的操作和活动后，归纳总结这些活动的共同属性，在头脑中进行描述和反思，就会形成一种“程序”。此阶段中学生将具体问题抽象化，形成抽象思维，抽象出概念所特有的性质。例如，学生通过计算认识到函数y=x3只不过是给定一个不同的x值就会得出相应的y值，进而
5、理解了函数就是变量x和y之间的一种对应关系，这样学生就已经完成了这种阶段过程模式的建构。 3.第三阶段对象（object）阶段 当概念发展到此阶段时，教师要引导学生对“过程”阶段所得出的各种属性进一步总结提炼，使概念的本质属性形成一个整体，进一步对概念进行严格定义，并进行数学符号化表示。3这样“过程”便凝聚成了“对象”。“对象阶段”使过程更加细致化，并将其作为一个新的独立对象进行新的教学活动，通过其引导学生对概念进行进一步的界定，形成规范、准确、简练的概念定义。例如，将函数的“过程”压缩为一个“整体”，形成函数的“对象”，从而明确函数是什么样的对应关系，形成更加抽象的函数概念。 4.第四阶段图
6、式（scheme）阶段 作为对象的数学概念，是学生整个认知结构的一个节点，它需要与结构中其他知识节点构成的知识网络逐渐建立联系，形成新的知识网络，即学生将“对象”与他原有的相关图式进行整合，产生新的图式结构，从而应用到数学实际中去。这样通过持续的建构，学生的思维认知水平上升到更高的层次，对数学概念的理解和认知进一步深化。例如，函数概念形成“对象”后，结合集合、一次函数、二次函数等形成新的知识板块，明确了定义域、值域、对应法则的定义和函数符号的意义。在此基础上函数与方程、数列、导数等相关知识可形成一个庞大的知识网络，构成了广阔的应用背景。 APOS理论是一种建构主义的学习理论，它揭示出数学概念的
7、学习是循序渐进的建构过程。它让学生既体验了概念形成的过程，又通过对象建构了的新心理图式；既重视概念学习的特点，又关注了概念之间的逻辑体系。APOS理论解释了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论。 二、“映射”教学设计为例来探讨APOS理论的应用 1.活动阶段 教师在简单的复习引入之后，提出以下问题 问题1判断下列对应关系f是否从集合A到B的函数，并说明理由。 A=x|x是某高校高一年级学生，B=N，fxx的年龄；A=x|x是三角形，B=y|y是圆，fxx的外接圆；A=x|x 0，1，2，B=N，fxx的元素个数。 学生动手操作，然后回答。根据函数定义，由于三小题中集合A或集合B不是
8、非空数集，故都不是函数。 2.过程阶段 问题2问题1中对应关系都不是从集合A到B的函数，但在解决过程中有没有发现什么异同之处？ 学生发现它们不是函数的原因是A或B不是数集。在教师适当引导下，进一步发现满足函数定义中的“集合A中任何一个元素在集合B中有且仅有一个元素与之对应”条件在中不满足。至此，映射概念的本质属性得以凸显。 3.对象阶段 问题3上述中的对应关系就是我们今天要学习的问题映射。你能叙述映射的定义吗？ 学生尝试给映射下定义，教师适时纠正、补充，板书定义。 4.图式阶段 问题4判断下列对应关系f是否从集合A到B的映射，并说明理由。 A=B=N，fxy=|x-1|；A=x|x是某一元二次
9、函数，B=x|x是数集， fxx的值域；A=x|x是圆，B=y|y是三角形， fxx的内接三角形；A=x|x是四边形，B=y|y是圆，fxx的外接圆。 师生共同讨论，举例从集合A到B的对应关系并说明是否映射，深化对映射概念的理解。 问题5映射和函数之间有何区别和联系？已知集合A=B=a，b，c， 则满足对任意xA，都有ff（x）=x的映射fAB有多少个？ 此问旨在加强映射与已学知识的联系，让学生明确映射不一定是函数，但函数一定是映射，培养综合应用能力。 总之，APOS理论对数学概念教学有一定的借鉴作用和参考价值。教师可以在教学实践中结合实际对该理论进行探索，不断总结与反思，精心设计教学活动，以促进学生认知结构的优化与完善。