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1、南宁市2013年一道中考几何综合题多解研究 图1题目：如图1，在ABC中，BAC=90,AB=AC,AB是圆O的直径，圆O交BC于点D，DEAC于点E，BE交圆O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P. （1）求证：DE是圆O的切线； （2）求tanABE的值； （3）若OA=2，求线段AP的长. 解析：从考题的三问看，该题的综合性很强.命题者把等腰RtABC与圆O有机地组合在一起，令一直角边AB为圆O的直径，另一直角边AC与圆O相切，斜边BC与圆O相交于点D，过点D作DEAC于点E，连结BE与圆O相交于点F，连结并延长AF与线段DE相交于点P，继而提出三问：第（1）问求证DE是圆O的切线
2、，显然连结DO，证明DEDO即可.从图形看有五条思路：其一平角性质；其二是三角形内角和性质；其三是多边形内角和性质；其四是平行线的性质；其五是全等三角形.第（2）问求tanABE的值，除了直接求值外，还可寻求与ABE相等的角解之；第（3）问求线段AP的长.求解思路较广，除直接利用勾股定理、射影定理、还可利用相似三角形、三角形中位线定理、全等三角形性质.下面就分别研究三问的证解方法： （1）证明DE是圆O的切线 图2证法1：如图2，连结DO，因为BAC=90,AB=AC,所以C=ABC=45,因为DEAC,所以CDE=45,因为OB=OD,所以ODB=ABC=45,因为ODE+CDE+ODB=1
3、80,所以ODE=90,所以DEDO. 因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线. 证法2：如图2，连结DO. 在BDE中，BDE+DEB+EBD=180, 因为CDE是BDE的外角， 所以CDE=DEB+EBD， 因为CDE=45,所以DEB+EBD=45,ODB=45,所以ODE=180-ODB-(DEB+EBD)=180-45-45=90,所以EDDO. 因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线. 证明3：如图2，连结DO. 在四边形AODE中，其内角和为(n-2)180.即(4-2)180=360,因为OAE=AED=AOD=90,所以ODE=360-(OAE+AED+AOD)=360-(
4、90+90+90)=90,所以DEDO, 因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线. 证法4：如图2，连结DO， 因为BAC=90,AB=AC,所以ABC=45. 因为OB=DO，所以ODB=ABC=45,所以DOB=90, 因为DEAC,BAAC,所以DEBA, 所以ODE=DOB=90,所以DEDO, 因为点D在圆O上，所以DE是圆O的切线. 证法5：如图2，连结DO. 因为DEAC，BAAC，所以DEBA， 所以EDB+ABD=180，即ODE+ODB+OBD=180, 由证明4知ODB+OBD=90, 所以ODE=180-(ODB+OBD)=180-90=90, 所以DEDO,因为点D在
5、圆O上， 所以DE是圆O的切线. 证法6：如图2，连接DO， 由证法4知DOB=90,即DOAB,CAAB, 所以DOCA,因为BO=OA，所以BD=OC， 又DEBA,所以CE=EA，所以OEBC, 所以EOD=ODB,EOA=OBD,因为OD=OB. 所以ODB=OBD，所以EOD=EOA.因为OD=OA. OE=OE，所以EODEOA,所以EDO=EAO=90. 所以EDDO,因为点D在圆O上， 所以DE是圆O的切线. （2）求tanABE的值 解法1：如图2，连结DO， 因为BAC=DEA=ODE=90,OA=OD, 所以四边形AODE是正方形，所以AE=OA=12AB， 所以tanA
6、BE=AEAB=24=12. 解法2：如图2，因为AE是圆O的切线，所以PAE=EBA,PEA=EAB,所以RtPEARtEBA. 所以PEAE=AEAB，所以PE=AE•AEAB=224=1, 所以tanPAE=PEAE=12, 所以tanABE=PEAE=12. 解法3：如图1，在RtBAE中，BE=AB2+AE2=42+22=25,因为EPAB,所以PEFABF,所以EFBF=EPAB=14，即EFBE=15，所以EF=15BE=255，所以BF=BE-EF=25-255=1052-255=855.在RtAFE中，AF=AE2-EF2=22-（255）2=455，在RtAFB
7、中，tanABE=tanABF=AFBF=455855=12. 解法4：如图1，在RtPFE中，PF=PE2-EF2=12-（255）2=155. 由解法3知EF=255， 在RtPFE中，tanPEF=PFEF=155255=12, 因为PEBO,所以PEF=ABE.所以tanABE=12. 解法5：如图1，由解法3知EF=255,AF=455,因为AE是圆O的切线，所以EAF=ABE,所以tanEAF=EFAF=255455=12,所以tanABE=12. (3)求线段AP的长. 解法1：如图1，因为AB是圆O的直径，所以AFB=90,因为EAP+PAB=90,PAB+ABE=90,所以E
8、AP=ABE,所以tanABE=tanEAP=PEAE=12，因为AE=OA=2,所以PE=1. 在RtAEP中，AP=AE2+PE2=22+12=5. 解法2：如图1.在RtEAB中，BE2=AB2+AE2，因为AE=2，所以AB=2OA=4, 所以BE=AB2+AE2=42+22=25，因为AC是圆O的切线， 所以PAE=EBA,AEP=EAB,所以RtPAERtEBA, 所以APBE=PBAE.即AP=PE•BEAE=1•252=5. 解法3：如图1，因为PEBA.所以PEFABF,所以PEAB=PFAF, 因为PE=1,AB=4,所以PFAF=14,所以APAF
9、=54,即AF=45AP.因为EF是RtAEP斜边AP上的高， 所以AE2=AF•AP=45AP•AP=45AP2.因为AE=2,所以22=45AP2,所以5=AP2,所以AP=5. 图3解法4：如图3，过点E作EGPA交BA的延长线于G. 因为PEAG,EGPA,所以AG=PE=1， 因为AB是圆O的直径，所以AFB=90, 所以AFBF.所以GEBE.因为EA是RtEGB斜边GB上的高.所以GE2=GA•GB,AB=4,所以GE2=1(GA+AB)=15,所以GE=5,所以AP=GE=5. 图4解法5：如图4，过点D作DKPA交EA的延长线于K. 因为PADK,EP=PD,所以EA=AK，在RtEDK中，DK2=DE2+EK2,因为DE=OA=2,EK=2AE=4,所以DK2=22+42=20,所以OK=25,因为AP是DEK的中位线. 所以AP=12DK=1225=5. 解法6：如图5，连结DO交BE于H，连结AH，因为DEAC,BAAC,所以DEBA.所以DEH=OBH,DHE=OHB,因为EO=AO=OB,所以OHEOHB, 所以EH=HB，所以AH是RtBAE余边BE的中线. 所以AH=12BE，因为BE= 25，所以AH=5. 因为AE=AO=2，PE=HO=1，AED=AOH=90, 所以RtAEPRtAOH,AP=AH=5.