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1、向量在解决高中数学问题中的应用研究 【摘 要】在高中数学教学中，向量是代数形式与几何形式相互结合的点，是高中数学知识的一个重要交汇点，同时也是解决数学问题的重要工具。在高中数学教学中，向量是重要的基础知识。学生学好向量对其后期学习具有重要的影响。就向量教学而言，学生在学习的过程中更侧重于工具的作用性。本文就向量解决高中数学问题的应用进行单独分析，以期能够对高中向量教学有更深了解。 向量在高中数学中具有代数性质和几何性质。从数学发展历史来看，向量是“数、运算以及量”形式不断发展的表现形式，同时也是高考数学必须考的数学知识。在高中数学教学内容中增添向量的知识点，促使几何和代数紧密相连。在数学问题解
2、决的过程中，向量能够为其提供新的思想和方法。将向量作为解决数学工具，能够将几何问题的逻辑推理性转化为代数的运算，这样就促使数学问题解决得更清晰、简洁。向量是高中数学教学内容的重要基础知识。但是，在解决数学问题的过程中应用向量知识的方面却非常少。其实在数学问题解决的过程中能够应用向量的知识，可以达到快速解题的目的。 一、学习向量的必要性 向量的学习始于高中数学。学生在高中阶段开始学习向量。数学与物理之间的联系主要是通过向量体现出来的。在高中物理学习中，针对位移、速度、加速度以及力等相关知识都需要运用到向量的加减。由此可见，就高中物理问题解决而言，全面学习向量具有一定的必要性。在素质教育实施的过程
3、中，物理学与数学已经获得了应有的重视和发展。学习向量能够为物理问题的解决提供必要的工具，将物理问题引入到向量的学习中能够提升学生学习数学的兴趣。在向量学习中，还有一个空间向量的概念。空间向量对立体几何问题的解决具有重要的意义。立体几何能够应用空间向量，则会对教学方法、教学内容、学生数学思维的培养具有重要的影响。教师在教学活动的过程中通过对空间向量的教学能够培养学生数学逻辑思维的能力。另外，在解析几何学习中应用向量，能够为解析几何提供重要的工具，促使传统的几何和现代的数学知识相互连接。由此可以看出，学生在高中阶段学习向量具有其必要性。无论是从学生的学习而言还是教师的教学质量，都具有一定的必要性。
4、 二、向量在高中代数问题中的应用 在高中数学教学中，代数占有大部分的内容。其主要研究的是数、数量、关系与结构的数学分支。高中代数的内容包括了数列、不等式、方程、统计与概率、基本函数和三角函数等等。在解决代数问题中，向量能够提供多种方法。笔者就对此进行简单的分析。 【例1】2012年高考若平面向量 a ，b满足：丨2 a-b丨丨3，则 ab的最小值是多少。 【答案】这道高考题的答案是 ab的最小值是-9/8 【解析】 丨2 a-b丨34a2+b2 9+4 ab 4a2+b24丨 a丨丨b丨 =9+4ab-4ab ab-9/8 在本题解析的过程中，其中4a2+b24丨 a丨丨b丨-4ab用的是不等
5、式a2+b2=丨 a丨2+丨b丨2丨 a丨丨b丨以及丨 m丨丨n丨-mn。通过这道高考数学题目我们可以看出，应用这种方法进行推广，也就是在数学题目解决中应用不等式的重要结论，经过几次不同的放缩，就能够得到相应的结果。 【例2】2011年浙江高考（文）若实数x，y满足x2+y2+xy=1，那么x+y的最小值是多少。 【答案】这道高考题的答案是x+y的最小值是23/3。 【解析】这道题目有几种解题方法。（解法一）：假设 m=（1/2x+y，23/2x），n=（1，1/3），进而可以得出丨 m丨丨n丨-mn（1/2x+y）2+（3/2x）2开根号（1+1/3）开根号1/2x+y+x/2 x+y（x2
6、+y2+xy）开根号23/3=23/3当且仅当存在两种条件，（1/2x+y）1/3=3/2x和x2+y2+xy=1。也就是在x+y=3/3的情况是，x+y存在最大值23/3 （解法二）m=（x+1/2y，3/2y），n=（1，3/3）丨 m丨丨n丨mn就可以得出x+y23/3。在解这道题目的过程中，需要应用到不等式丨 m丨丨n丨mn依据不同的向量m，n。在解题的过程中，其关键部分就是向量m，n这两种方法都假设了a2+b2=x2+y2+xy=1，ac+bd=x+y。采用待定系数的方法就能够求出c，d的值。应用这种方法解题具有一定的灵活性，在实际操作的过程中那个具有可变通性。 【例3】求函数f（x
7、）=（x2+2x+2）开根号-（x2-2x+2）开根号的值域 【解析】f（x）=（x2+2x+2）开根号-（x2-2x+2）开根号=（x+1）2+1开根号-（x-1）2+1开根号。假设a=（x+1，1），b=（x-1，1），a-b=（2，0），则f（x）=丨 a丨-丨b丨。根据三角不等式-丨 a-b丨丨 a丨-丨b丨丨 a-b丨以及a，b不共线的值域值域（-2，2）。在解题的过程中应用三角不等式-丨 a-b丨丨 a丨-丨b丨丨 a-b丨以及其等号的条件。 通过这几个例子就可以充分看出向量在解决最值、不等式以及函数值域的过程中具有广泛的应用。并且在解题的过程中方法也不是唯一的，但是其解题思路都是
8、利用向量的相关知识。这样的解题方法非常灵活，需要教师和学生在实践中不断的探索。 三、向量在高中几何问题中的应用 向量具有形的特点同时还具有优良的运算性质。向量的线性运算和数量运算具有较为鲜明的几何背景。因而对于某些需要证明的平面几何命题，可以将向量运用到其中。这样向量就能够为几何证明提供新的途径。有些几何问题的常规解决方法非常繁杂，运用向量进行行和数的转化，能够促使解题过程得到简化。 【例1】已知 D 是ABC所在平面内一点，AD的中点为E，BE的中点为F，CF的中点为G。证明：使得两点D与G重合的点D是唯一的。 【证明】 AG=1/2（AF+AC）=1/21/2（AB+AE+AC =1/4AB+1/8AD+1/2AC 因为AD=AG 7/8AD=1/4AB+1/2AC 所以AD=2/7AB+4/7AC 因为AB，AC是确定得向量，所以 AD是唯一的一个向量，则ABC所在的平面内使得两点D与G重合的点D是唯一的。在解决此类问题的过程中，其关键部分就在于以一组不共线向量为基底，通过向量运算利用平面向量的基本定理，就能够将基底向量表示出来，再利用向量相等，列出方程，进而得出相应的值。 四、结语 总之，向量作为高中数学学习的重要内容，在实际的应用范围非常广泛。应用向量研究问题能够实现抽象思维和形象思维的相互结合，并能够有效地开发学生的数学思维能力，进一步提高学生解决数学问题的能力。