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1、基于APOS理论的“同底数幂乘法”的教学研究 【摘要】将APOS理论指导于“同底数幂乘法”的教学设计，即通过“活动”阶段，感知具体的同底数幂乘法的运算；程序阶段，体验同底数幂乘法法则的形成过程；对象阶段，对同底数幂乘法法则的形式化表述；图式阶段，建立综合的心理图式。 美国数学教育学家杜宾斯基认为：任何一种教学策略或者教学方法，或者教学行为都要将目的集中于：学生是如何学习的，以及这样的教学是如何帮助学生学习的。因此杜宾斯基提出APOS理论。APOS理论认为：学生学习数学知识需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上主动建构新知识的意义，才能达成理解。而这一建构过程需要经历“活动”、“程序
2、”、“对象”、以及最终形成“图式”四个阶段。APOS是英文字母action（活动）、process（程序）、object（对象）、scheme（图式）的第一个字母的组合。APOS理论指明了数学概念形成的规律性和数学概念学习的层次性，为数学概念的教学设计提供了一种模式。 笔者将APOS理论指导于同底数幂乘法（人教版数学七年级下册第74页）的教学设计，现阐述如下，供同行参考。 一、“活动”阶段，感知具体的同底数幂乘法的运算 “活动”是指个体通过一步一步的外显性(或记忆性)指令去变换一个客观的数学对象。“活动”泛指于数学活动，如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等，而不是仅指学生的肢体动作，学生通过“
3、活动”，亲自体验、感受概念的直观背景和概念间的关系，为抽象概括提供感性基础。在这个阶段，要求教师创设问题情境，或者提出一些需要解决的问题，让学生操作、思考讨论等活动来一起解决问题。 例如，课例同底数幂乘法的“活动”阶段的教学片断： 上课开始，教师提出问题1让同学思考，即 问题1：太阳光照射到地球表面所需的时间是5102S，光的速度约是3108m/s,地球与太阳之间的距离约是多少？ 生1（板演）：（5102）（3108）m。 师：怎么把它继续运算下去呢？ 生1：（5102）（3108） =51023108=（53）（102108） =15（102108）。 师：这样计算的依据是什么？ 生：乘法交
4、换律，乘法结合律。 师：（见生1陷入困境）要知道102108等于多少，首先要知道108代表什么意思？ 生： 108=1010101010101010。 师：那如何计算102108？ (学生计算，教师巡逻) 师：生2、生3同学，请你们说出计算结果。 生2：1016。 生3：1010。 师：1010的指数10和1016的指数16是怎么得来的？ 生3：102108=10101010101010101010=1010。 师：生2同学，你知道自己错在哪里吗？ 生2：知道了。 师：请同学们继续计算下面各题： （-6）2（-6）3= 7m7n= a3?a7= 学生要构造自己理解的数学知识，关键是一种思想上的
5、飞跃，即皮亚杰提出的“反省抽象”。为了形成反省，必须将自己的实践性活动变为思考的对象，即被反省的基础是“活动”过程，缺少了“活动”，反省无法落实；“活动”达不到一定数量，过程的各种状态和性质在心理上不易引起注意。因此，学生“活动”的直接目的是现场积累学习新知识所必须的经验，或是对自己已具有的相对模糊的经验进行强化，增强体验使之处于活跃状态，从而为进一步的反思抽象提供对象和素材。对于本节课而言，通过以上的运算活动，学生已进行足够的活动体验，已直观感知具体的同底数幂乘法的运算，初步理解同底数幂乘法的意义。 二、“程序”阶段，体验同底数幂乘法法则的形成过程 在“活动”阶段，学生对具体的同底数幂乘法有
6、了较好的感知，根据APOS理论，当“活动”经过多次重复被学生熟悉后，就可以内化为称之为“程序”的心理操作。学生有了这种程序，他就可以想象这个“活动”，而不需要通过外部的刺激，他可以在头脑中实施这个程序，而不需要具体操作。“程序”阶段，需要教师更多地启发学生思考，通过对“活动”的反思来提炼程序，并且尽可能让学生用自己的语言来描述程序，发展学生的抽象概括能力。 请看课例“同底数幂乘法”的程序阶段的教学片断： 师：请同学们思考以上运算中，各个算式有什么特点？ 生3：是幂与幂的乘积运算。 生4：因数幂的底数都相同，结果也是幂的形式。 生5：结果的幂的底数与因数的幂的底数相同。 师：很好！底数不变，那它
7、们的指数有什么变化、 生：因数的指数之和等于结果的指数。 师：不错！你能用数学语言来叙述各个算式的共同特点？ 生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 由以上的“活动程序”阶段，我们可以看到，学生在教师的引导下，随着问题的步步深入，思维活动一步步地展开，由具体到抽象，由浅入深地学习。最后，学生不但归纳出了法则，而且抽象概括能力也得到了较好的培养。这样来学习法则，学生对它的含义的理解是深刻的。同时也使学生从“程序阶段”上升到“对象阶段”。 在教学中，要让学生完整地经历“活动”“过程”，这有利于发展抽象概括能力。相反，在数学概念、规则形成的教学中，如果教师只是借助于个别实例很快地进入概念定义和规则，
8、没有让学生“活动”,那么就容易导致学生在没有理解数学概念、规则时就机械地背诵，强记忆弱迁移或强记忆负迁移也在所难免。 三、对象阶段，对同底数幂乘法法则的形式化表述 当学生能够把“程序”作为一个整体进行操作时，这一程序就变成了一种心理对象,即是抛开“程序”的具体的来源，而抽象地利用“程序”解决相关的问题。对同底数幂乘法的法则而言，表现为学生通过前面的抽象，认识到了其法则的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精确化。 请看课例“同底数幂乘法”的对象阶段的教学片断： 师：得到了同底数幂乘法运算法则的文字叙述，根据我们的经验，你还想知道什么？ 生4：用符号表示乘法运算法则。 师：为什么想到用符号
9、表示同底数幂乘法的运算法则？ 生4：简洁。 生5：习惯。 师：哦，很好！请同学们写出同底数幂乘法运算法则的符号形式。 （学生写出：am?an=am+n） 师：大家能证明吗？ 生：能。 师：请给予证明 学生证明：am?an=?= =am+n(m、n是正整数) 师：证明过程的依据是什么？ 生：幂的意义，乘法的结合律。 师：当三个同底数的幂相乘时，上述法则是否成立？ 生：成立。 师：为什么？ 生：证明与前面一样。 师：你能写出n个同底数幂相乘的公式？ 【学生证明得到：?=(m1,m2,mn是是正整数)】 师：请同学们继续计算下面各题 (-a)3?a4= (x-y)3(y-x)4= (设计意图：通过计
10、算，让学生明白：如果底数不同，则利用(-am)?an=(-1)m?am?an先把底数化相同，再利用法则计算；底数可以是数字、字母、也可以是一个代数式。） 从同底数幂乘法运算法则的符号形式到证明，再到法则的简单应用，学生初步掌握了同底数幂乘法运算的法则，从而使同底数幂乘法运算法则在学生的头脑中建立起直观结构的形象，以后遇到同底数幂乘法的运算时可以直接提取使用。 四、图式阶段，建立综合的心理图式 图式是人脑中的知识单元，知识组块和知识系统。一个数学图式是由相应的活动、过程、对象以及与某些一般原理相联系的其它图式所形成的一种存在于个体头脑中的认知框架。图式阶段要求教师通过一定的方式让同学们把一节课所
11、学习的知识点，或者加上以前学习的知识点串联起来，形成一个知识组块或者知识单元。 在对象阶段，学生只是初步掌握了同底数幂相乘的法则，对其实质的含义的认识还须从“对象阶段”到“图式阶段”的再次飞跃，需要通过多样以及多次新的“活动”和“过程”来升华，于是继续给出下面的例题让学生“操作”和反思。 例1：计算下面各题 （1）x?xm-xm+1= （2）y?yn+1-yn?y2= (设计意图：通过计算，让学生注意同底数幂相乘与整式加减不要混淆。） 例2：已知ax=4，ay=6,求ax+y=？；a3x+y=？ 例3：已知ym-ny3n-1=y13且xm-1x4-n=x6,求2m+n的值。 最后教师通过思考题的形式引导学生小结，即 （1）利用同底数幂相乘的法则进行计算与利用幂的意义进行计算相比较，其优点在哪里？ （2）应用同底数幂乘法的法则计算时应注意些什么？ （3）你能写出本节课的小结？ 于是，在学生独立思考的基础上再合作交流得到： 学生通过独立思考，合作交流,这时，幂的意义、同底数幂乘法的法则与其它知识（如整式的加减等）的联系等一种丰富而有主题、有组织的综合心理图像存储于学生的脑海之中。至此，初级的“图式S”已经形成。以后，当遇到有关同底数幂相乘的问题时，学生就会积极调动与之相关的图式，正向迁移，顺利解决。