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1、关于常数项无穷级数的教学设计 针对通常高等数学课程中的常数项级数教学设计做出了改进，使得学生更容易学习和掌握这部分内容，从而达到提高教学效率、改善教学的效果. 引言高等数学教学改革中一项重要内容就是教学内容与方法的改革，既应有引进、吸收他人先进经验的一面，也要有根植于教学实践的创新. 教材1是国内应用最广的教材，堪称经典的优秀教材.也是我校长期选用的教材. 在长期的教学实践中，我们对教材的处理有一些自己的感悟与设计. 这里仅就常数项无穷级数的课堂教学设计介绍我们的观点与做法，并求教于同仁和广大同学.在长期教学中我们发现，有部分学生在无穷级数学习初始阶段，对无穷级数的概念与性质理解有难度、对相关
2、性质难以把握、运用. 针对这种情况，我们在常数项级数引入、常数项无穷级数性质的安排次序等方面给出了改进，使得学生更容易接受、获得启发，从而提高教学效果. 一、课前布置预习。由于这部分主要利用数列及其极限的知识，所以在授课前布置学生预习相关的预备知识复习数列极限及其性质，包括“数列收敛数列一定有界”；有界数列未必收敛；“单调有界数列一定收敛”等知识. 二、关于无穷级数的引入。利用更为初等、熟悉的例子来说明级数概念引入的必要性，对于一般问题的研究，某些量也经常用级数表示并且方便应用. 进一步地，常数项级数还是学习函数项级数的基础，而函数项级数是表示函数的重要工具. 这个例子说明，即使在小学阶段表示
3、像 这样简单有理数的小数形式时就实际上应用了无穷级数的形式，而理解无理数那更是离不开无穷级数了（利用圆内接多边形逼近圆的面积（可以让学生自学教材1例子）. 例2 早在2300多年前， 庄子 天下篇中有一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 若利用数学模型描述这句话，就可以用无穷级数表示为 因此可以说无穷级数是认识问题、表示关系的基本模型，因此也就成为高等数学中的基本内容. 这个例子简单但文化上的意义不小，江泽民主席访美在哈佛大学讲演时就曾引用过这句话. 三、关于核心概念的处理与评注 级数 un收敛与发散的概念即级数部分和数列S = u 收敛与发散. 无穷级数实际是数列极限概念的应用，但其形式
4、正如引例展示的那样，比数列形式更自然、具体、方便，所以应用广泛. 在收敛与发散的讨论中，注意指明三点1）在无穷级数的讨论中收敛性讨论是基本问题， 因为有关级数的讨论几乎都与收敛、发散相关，所以收敛与发散是级数理论的重点概念.2）关于级数收敛的概念在后面还要讨论，即进一步区分收敛的类型（绝对收敛与条件收敛）.3）最简单的一类级数是所谓正项级数，因其部分和是单调增加的.易知正项级数部分和有界是正项级数收敛的充要条件. 正项级数收敛性判别成为下一节的主要研究对象. 不过对于一般级数而言，收敛性就不易给出充要条件了，通常考虑的大多是一些收敛的必要条件或一些充分条件. 这样自然引出级数性质的讨论. 在讨
5、论级数性质时首先给出级数收敛的必要条件，在教学上更可取. 四、级数收敛的必要条件（发散级数判别法） 评点在级数收敛、发散定义给出后，由un=sn+1-sn可容易推出级数收敛的必要条件，从而可用该条件方便判别许多级数的发散，为了说明级数一般项趋于0只是级数收敛的必要条件而非充分条件，可以利用下例说明. 例3.用收敛性定义讨论级数 ln(1+ )的收敛性，并说明级数一般项趋于0只是级数收敛的必要条件而非充分条件. 评注一般教材是利用调和级数发散，但通项趋于0，说明级数一般项趋于0只是级数收敛的必要条件而非充分条件. 不过通常证明调和级数发散却比较繁琐一些（多用反证法或利用其它级数性质）. 而用上面
6、例子说明则比较简单. 事实上，可以利用例3并结合下面不等式推出调和级数也是发散的，见例4. 在拉格朗日中值定理一节中，利用中值定理可得到不等式 评点该例方法，还为下一节正项级数的比较审敛法讨论做了铺垫. 由于级数收敛必要条件作为第一个性质先介绍，所以在讨论等比级数发散情形时就比较简洁，在数学中方法简洁有力是数学美的体现之一. 五、级数的其它基本性质 在讨论其它性质时，注意用级数变换的观点来统一认识.这里所谓级数变换是指由已知级数通过通项变形等手段构造新级数. 评注性质4实际也是级数收敛的一个必要条件，若一个级数以某方式加括号后级数发散，或以两种方式加括号后所成两个级数收敛于不同和，则原级数必发散. 这实际讲的是收敛的无穷级数满足“结合律”. 说明这是唐山学院教学质量工程建设（高等数学精品课与核心课程）的部分工作.