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1、高考中的几何概型 几何概型是一种重要的概率模型，在近几年的高考试题中均有出现。解决几何概型问题首先要明确几何概型的定义，掌握几何概型当中事件的概率公式，其次要学会构造随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。下面举例说明几何概型在高考中的考查。 一、与长度有关的几何概型 例1、2012年辽宁卷在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为 （A） （B）（C）（D） 【答案】C 【解析】设线段AC的长为 cm，则线段CB的长为（ ）cm，那么矩形的面积为 cm2， 由 ，解得 。又 ，所以该矩形面积小
2、于32cm2的概率为 ，故选C 【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型中长度的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。 二、与面积有关的几何概型 例2、2012?湖北卷 如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（） A. 121B. 1 C12D. 2 解析 如图所示，不妨设扇形的半径为2a，记两块白色区域的面积分别为S1，S2，两块阴影部分的面积分别为S3，S4，则S1S2S3S4 14（2a）2a2， 而S1S3与S2S3的和恰好为一个半径为a的圆的面积，即S1S3S2S3a2. 由得S3S
3、4； 又由图可知S3 12a2a2， 所以 a22a2. 故由几何概型概率公式可得，所求概率P 1 .故选C. 例32012?北京卷 设不等式组 表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. 4 B. 22C. 6 D. 44 解析 本题考查了线性规划、圆的概念、圆的面积公式以及几何概型公式等基础知识 如图所示， 故选D. 三、与体积有关的几何概型 例4、2011长沙模拟在棱长为2的正方体 中，点 为底面 的中心，在正方体 内随机取一点 ，则点 到点 的距离大于1的概率为。 解析：点 到点 的距离大于1的点位于以 为球心、以1为半径的半球外。记点 到点 的距离大于1为事件A，则： 四、与角度有关的几何概型 例5、在 中， ，过直角顶点 作射线CM交线段AB于M，求使得 的概率。 解：如图：设事件D为“作射线CM， 使得 ”，在AB上取点 使 ， 因为 是等腰三角形， 所以 ，所以 【点评】由于CM落在 内的任意位置是等可能的，若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的。此题学生最容易当成长度概率。