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1、2018年高考江苏数学卷19题解法探究 题目已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，bR）， （1）试讨论f（x）的单调性； （2）若b=c-a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（-，-3）（1，）（，+）， 求c的值。 本题考查了函数的零点、导数的运算、函数的极值等知识，涉及函数与方程、数形结合和分类讨论以及化归与转化的数学思想，同时考查了学生对多参数问题的分析处理的能力。下面给出几种与标准答案不同的解法。 解（1）略 （2）法1显然，a=0不合题意。对f（x）求导，f （x）=3x2+2ax，令f （x）=0，得x=0，或x=-，易知0，-是函
2、数的两个极值点，函数f（x）有三个不同的零点?f（0）?f（-）0，因为此不等式的解集恰好为（-，-3）（1，）（，+），此处求解可有两种思路 思路一 （方程法） 方程（a-c）（a3-a+c）=0的根应为a=-3，1，（二重根），将它们带入方程得c=-3，1，经检验只有c=1时，上述方程的解为-3，1，。 思路二 （待定系数法） 因为不等式（a-）2（a-1）（a+3）0的解集为（-，-3）（1，）（，+），所以（a-c）（a3-a+c）=（a-）2（a-1）（a+3），解得c=1。 当c=1时，f（x）=x3+ax2+1-a=（x+1）x2+（a-1）x+1-a，因f（x）有三个不同的零点
3、，故x2+（a-1）x+1-a=0有两个异于-1的根，于是由0及1+（a-1）（-1）+1-a0，得a的取值范围（-，-3）（1，）（，+）。综上，c=1。 法2由x3+ax2+1-a=0，得x3+ax2=a-c，令p（x）=x3+ax2，q（x）=a-c，函数f（x）有三个不同的零点，等价转化为两函数p（x）与q（x）的图象有三个不同的交点。p（x）=3x2+2ax，令p（x）=0，得x=0，或x=-，且易知其为p（x）的两个极值点，当a0时，p（x）极大值=p（-）=-，p（x）极小值=p（0）=0，应有0法3设函数f（x）=x3+ax2-a+c，由f （x）=0，得x=0，或x=-，当a
4、0时，f（x）极大值=-a+c，f（x）极小值=c-a；当ayh（a）=-aa-2-12O 当c0时，a h （a）0，a0?a h （a）+c0，a0， a h （a）+c0，a0?a h （a）0，a0 a h （a）0。由（*）式知-3为方程-a+c=0的根，得c=1，将c=1带入原函数f（x）检验符合题意。 注 1.由h（a）图象平移的对称性知当函数f（x）有三个不同的零点时，若a（-，-）（-，-1）（3，+），则c=-1；特别地，若a（-，-）（，+），则c=0； 2.若函数f（x）有三个不同的零点，将h（a）的图象向上平移c（c0）个单位与向下平移个单位，则a的取值范围关于原点对称。 ?编辑 段丽君第 3 页