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1、“直观想象”在全国卷数列试题中的应用探析 “直观想象”是高中数学核心素养的重要内涵. “直观想象”是指借助几何直观和空间想象感知事物的形?B与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程， “直观想象”主要包括借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系；构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路， “直观想象”在解题上有重要作用，可以帮助我们快速探明问题的解决方向，轻松将问题予以解决. 以下以全国卷试题为例，就“直观想象”在数列解题上的应用作一探析，以飨读者. 1运用“直观想象”预测数列问题的变化规律 运用“直观想象”策略，可以较好地预测数列问题的变
2、化规律，进而依循规律使问题获得轻松解决， 例1 （2018年高考全国新课标卷I.理16）数列an满足an+1+（-l）nan=2n-1，则an的前60项和为_. 分析本题是填空把关题，依常规方法求解极为繁琐.其实，由“直观想象”不难预知，本题是填空题，故不论数列an如何变化，其前60项的和不因数列的变化而变化，由此我们可将首项特殊化予以求解. 解析由an+1+（-l）nan=2n-1， 得an+l= 2n-1-（-l）nan. 令a1=1，则有a2=2，a3=1，a4=6， a5=1， a6=10， a7=1， a8=14， 至此可以发现，数列an的奇数项均为1；偶数项是以2为首项，4为公差的
3、等差教列， 故S60=301+（302+（3029）/24）=1830. 评析上述求解轻松快捷，不亦乐乎，这得益于首项的特殊化，否则规律不易探明，求解势必复杂耗时，而想到运用“特殊化”策略予以求解，这又取决于对数列变化规律的“直观想象”，凸显了“直观想象”在预测数列问题的变化规律上的重要作用. 2运用“直观想象”剖析数列问题的本质特征 运用“直观想象”策略较好地剖析数列问题的本质特征，进而根据本质特征可将问题轻松予以解决， 例2 （2018年高考全国卷I.理17）已知数列an）的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan+1=Sn-1，其中为常数. （I）证明an+2-an=； （）是否存在，
4、使得an为等差数列？并说明理由. 分析本题难在第（）问，难在如何判断是否存在，以及如何求出均值，解题似乎无从下手， 其实，由“直观想象”不难得知，若存在满足条件的，使得a为等差数列，则an的前三项必成等差，由此可求出的值，问题不难获解， 解析由a =1及anan+l= Sn一1，得a2=一1. 又由a+2-an=，可得a3=+1. 依题意，若存在满足条件的，使得an为等差数列，则a1，a2，a3必成等差，则由2a2=a1+a3，即得=4，以下不难予以证明. 评析基于数列问题的本质特征结论的一般性，我们运用了前三项必成等差这一结论，使得问题获得轻松解决. 而想到这样子来求的值，则是源于对数列问题
5、本质特征的“直观想象”，凸显了“直观想象”在剖析数列问题的本质特征上的重要作用. 3运用“直观想象”构建数列问题的直观模型 运用“直观想象”策略，可以较好地构建数列问题的直观模型，进而借助模型可将问题轻松予以解决. 例3 （2018年高考全国卷.理17）已知an满足a1 =1，an+l=3an+1. 评祈问题的解决得益于将右式的3/2转化为等比数列的和，如果没有转化，这一证明根本无从进行.而之所以想到作这样的“转化”，则取决于对待证式子的“直观想象”，凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用. 例4 （2018年高考全国卷I.理22）设数列an满足an+1=an2-nan+1，n=l，2，3， （I）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； （）当a13时，证明对所有的nl，有 ann+2； 同样，问题的解决得益于借助“直观想象”将右式的1/2去转化为等比数列的和，如果没有这种“直观想象”，就不可能作这样的转化，解题根本无从进行，凸显了“直观想象”在构建数列问题的直观模型上的重要作用， “直观想象”在数学解题中有着重要的作用，在直观想象核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力，增强运用图形和空间想象思考问题的意识，提升数形结合的能力，感悟事物的本质，培养创新思维，平时教学和高考复习都应予以足够的重视.第 5 页