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1、高三数学函数的概念及表示的复习教学刍议 函数概念的教与学是重点，也是难点，对一个概念的习得和理解到掌握是一个复杂的过程。数学学科的研究对象是思维材料。数学概念的高度概括形式化的表示方法，公理化的思想体系，严密的演绎推理等等，使得数学内部之间有更加紧密的联系，是培养思维能力的最佳载体。教学中尽量促使学生最大限度的参与，体现出启发式教学的地位和作用。 一、命题走向 函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现通过具体问题（几何问题、
2、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。 二、要点精讲 1、理解映射的概念，应注意以下几点。 （1）集合A、B及对应法则“f”是确定的，是一个整体系统；（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的；（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征；（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个
3、；（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。例。设 在下图中，能表示从集合 到集合 的映射是（ ） 2、理解函数的概念，应注意以下几点。 （1）函数是从非空数集A到非空数集合B的映射关系；（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集。 3、求函数定义域的基本思路。 如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点 （1）分母不能为0。 （2）对数的真数必须为正。 （3）偶次根式中被开方数应为非负数。 （4）零指数幂中，底数不等于0。 （5）负分数指数幂中，底数应大于0。 （6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交
4、集。 （7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义。 如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为a，b，则函数fg（x）的定义域是满足不等式ag（x）b的x的取值范围；一般地，若函数fg（x）的定义域是a，b，指的是xa，b，要求f（x）的定义域就是xa，b时g（x）的值域。 注意研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例已知函数 定义域为（0，2），求下列函数的定义域 （1） ；（2） 变式题已知函数f（x）= 的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ） A.a ；B.-12处理方法本例不给出f（x）的解析式，即由f（x）的定义域求函数fg（x）的定义
5、域 关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；变式题属于求函数定义域的第三种类型题，是一些数学问题产生的函数关系，在求解的过程中应注意优先考虑定义域。 设计意图由简单函数定域求复合函数定义域的方法与由复合函数定义域求简单函数定域的方法，两者非常相似，学生极易混混淆，此题让学生进一步深刻理解它们这间的本质区别。而变式题让学生的思维进一步开阔，提高学生的抽象概括能力和解决数学问题的能力。 4、求函数解析式的基本策略。 函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点。解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f”的本质。下面介绍几
6、种求函数解析式的主要方法 （1）凑配法把形如f（g（x）内的g（x）当作整体，将解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式。 （2）换元法已知f（g（x），求f（x）的解析式，一般可用换元法。具体为令t=g（x），求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围。 （3）解方程组法若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求出f（x）的表达式。 （4）待定系数法若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数。 （5）赋值法已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊
7、值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式。 例.（1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 ； （3）已知 是一次函数，且满足 ，求 ； （4）已知 满足 ，求 。 处理方法第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。 设计意图让学生区别各种求函数解析式的方法，使学生能够熟练快速地求解函数的解析式。同时为后面解决有关函数解析式的问题打下基础。 例.已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x。 （1）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）； （2）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0?）= x0。求函数f（x）的解析表达式。 处理方法独立完成（1），讨论探究（2）。该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。 设计意图这需要考生有很深的函数理论功底。有利于培养学生发现问题、探究问题的意识与能力，提升学生思维的严谨性与批判性，锻炼学生的思维品质。第 6 页