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1、高中数学排列组合应用题的教学 排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。加法原理和乘法原理是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键。 排列组合应用题思维抽象，解法独特且灵活多变，搞好排列组合应用题的教学对训练学生的思维，培养学生分析问题、解决问题的能力都有十分重要的意义。那么，如何搞好这部分内容的教学呢？笔者结合自己多年的教学经验谈几点体会。 一、抓住“两个原理” 重视对“两个原理”的教学。“加法原理”和“乘法原理”是推导排列组合种数计算公式的重要依据，也是解排列组合问题的关键
2、。让学生明确在考虑应用两个原理解决问题时，要注意“完成一件事”的办法是分步进行还是分类完成。如果是分步进行，就找出完成每一步的方法数，运用乘法原理来解决；如果是分类完成的，就找出每一类的方法数，运用加法原理来解决。 例1有五个球要放在三个盒中，共有多少种不同的放法？ 此问题的关键是5个球都要放到盒中，而每个球都有3种放法，把其中某个球放到盒中是完成“5个球放到盒中”这件事的一个步骤，只有5个步骤全部完成这件事才算完成，按乘法原理有33333245（种） 例2从甲地到乙地每天有1班火车，2班轮船，4班汽车。王红要从甲地到乙地，乘坐这三种交通工具一天有多少种不同走法？ 此问题的关键是王红无论乘火车
3、、乘轮船还是乘汽车都能完成从甲地到乙地这件事，且乘火车有1种方法，乘轮船有2种方法，乘汽车有4种方法，按加法原理有1+2+4?7（种） 二、辨清“排列”“组合” 在解排列组合应用题时，在明确了使用哪个原理的同时，还要提醒学生注意分辨是排列问题还是组合问题。排列是按一定顺序排成的一列元素，两个排列的不同，意味着两个排列的元素不同或元素相同，但元素的排列顺序不同。组合是无顺序约束的一组元素，两个组合的不同，意味着当且仅当两个组合元素的不同。 例3用1分、2分、5分的硬币各一枚，可以组成多少种不同的币值？ 三种硬币组成不同币值的方式可分为三类，即分别用一枚两枚三枚组成，且无论用几枚硬币所组成的币值种
4、数与硬币的排序无关，因此是组合问题，共7种 例4某信号兵用红、黄、蓝三面旗，从上到下插在竖直的旗杆上表示信号，每次可插一面、两面、三面，一共可以表示多少种不同的信号？ 解此类问题时要求学生联系实际。挂旗表示信号，与各色旗的上下顺序有关，因此是排列问题。信号又可分为三类，用一面旗、两面旗、三面旗都可独立表示不同信息，因此有15种 三、总结常用方法 讲排列组合应用题时，从不同角度分析问题，再把学生的解题方法汇集起来，然后让大家讨论，哪种方法巧妙，哪种方法带有一般性，是常用方法。经归纳总结，解排列组合应用题有以下几种常用方法。 1、直接法。就是根据题中的约束条件，直接使用两个原理，从正面求出符合题意
5、的排列（组合）种数。 例5五人并排照相，甲必须在中间有多少种不同排法？ 解假设有排好了顺序的五个位置，不考虑甲，先在四个人中选一人站在一号位，再从其余的三人中选一人站在二号位，三号位留给甲，四 号位从余下的二人中选，剩下的1人就是五号位了。共有排法24（种）。也可从把除甲外的四人全排，在每一种排法中让甲站在中间有24（种）。 2、间接法。就是从不考虑约束条件的排列（组合）中剔除不符合约束条件的排列（组合）种数。如例5的间接求法。 解把5个人的全排列剔除甲不在中间位置的排法，有24种。 3、特殊元素优先法。排列组合问题中有些元素有一定的特殊约束条件，求解时先考虑有特殊约束条件的元素。如例5，甲是
6、有特殊约束条件的元素，所以先把甲放在中间位置，其余4人在另外四个位置任意排列，有24（种）。 4、捆扎法（或并元法）排列问题中往往要求某些元素必相邻。解这类问题时可把这些元素捆扎在一起并作一个元素加以排列 例6 5个人并排照相，甲乙二人不分开有多少种不同的排法？ 解可分两步。把甲乙二人捆扎在一起看作一个元素与其余三人进行全排列，有种，再把甲乙二人全排列有种，由乘法原理有48种。 5、插空法。排列题经常有某两个元素不相邻的排法。解题时可先排无约束元素，再把有约束元素插在已排好顺序的空中。 例75人排成一排照相，甲乙两人不相邻有多少种排法？ 解分两步先把其余三人全排，有种，三人排好后有4个空可插，
7、甲乙任选二空有种，由乘法原理有72种。 6、先组后排法。有些数列可通过先组合后排列两步完成。 例8从1、3、5、7、9中取三个数字，从2、4、6、8中取两个数字，共能组成多少个无重复数字的五位数？ 解分三步从1、3、5、7、9中取三个数不考虑顺序，有种取法，从2、4、6、8中取两个数亦不考虑顺序，有种取法，对取出的五个数进行全排列有种，由乘法原理共有7200种。 教师在帮助学生归纳出以上几种常用方法后应指出在解排列组合应用题时要广开思路，不能死记硬背硬套方法，要善于变通。 总之，在排列组合应用题的教学中，教师要引导学生在做题前一定要认真审题、慎密思考，分清“完成一件事”是过程分步还是方法分类；是排列问题还是组合问题。经过训练，由单一到综合，由简单到复杂，再难的问题也可以解决了。第 6 页