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1、高等代数的数学思想在矩阵分解中的应用 高等代数是教育学科当中的重要组成部分，其中包含着丰富的教学知识，同样也蕴含着相应的教学思想。矩阵分解是高等代数当中的重点内容，矩阵分解的应用在高等代数甚至在整个数学领域都有重要的作用。本文将针对高等代数教学思想在矩阵分解当中的应用实例进行分析，并简要说明矩阵分解相关理论及其应用。 前言矩阵分解世代数当中重点内容，同样也是代数当中的重要概念之一。矩阵分解可以详细分为矩阵的逆和矩阵的秩，通过这两个重要的方式，矩阵分解在实际应用过程当中的广泛性和实用性是不可忽视的。其不仅在相关的教学理工领域被应用，更是高等代数求解过程当中的重要工具。 1 高等代数的教学思想 教
2、学思想一般是指教师在实际教学过程当中对教学本质的探索及经验的总结，是源自于教学知识理论基础之上的物质形态。教学思想是对实际教育过程的高度概括，是抽象性的表达形式。能够对相应的教学知识起到引导的作用，使得教学深度可以向更深更广的程度发展，促进教育体系的完善。 高等代数是丰富的数学知识与教学思想相结合的组合形式，是贯穿整个教育时代的基础理论知识。是目前整个教育领域的研究对象，高等代数的广泛应用也推动了整个社会科技的进步与发展，是完整的教学模型，高等代数的教育思想随着时代的发展也被应用到矩阵分解当中，成为了当前进一步研究的对象2。 2 矩阵分解 矩阵的分解应用数学教育思想当中的“分解”与“转化”的思
3、想，矩阵分解当中拥有多种情况，可以将其分为积分解、和分解与分块分解。 2.1矩阵的和分解 矩阵当中的和分解，是指将整个矩阵分解为某一个矩阵的某些特定性质的矩阵的和，应用这样的方式对矩阵分解进行分析，为了解决矩阵分解当中的和分解可以通过较为直观的实例来举例说明。 例1 每一个矩阵都能分解出对称与反对称矩阵的和 证明 存在性 社a为方阵，取b=1/2（a+at），c=1/2（a-at），验证b为对称矩阵，则c为反对称矩阵，a=b+c。 相对唯一性 若存在对称矩阵b1和反对称矩阵c1，使得a=b1+c1，则b1-b=c-c1，而b1-b为对称矩阵，c-c1为反对称矩阵，所以，b1-b=0=c-c1，
4、唯一性得以证明。这就是矩阵当中的和分解的相对应用。和分解的应用可以证明矩阵的对称与反对称的唯一性，是整个高等代数简单的形成相应公式。 例2 一个秩为r的矩阵可以分解为秩为1的矩阵之和。 证明，设（B）=r，由P-Q的相应理论可知，存在非奇异矩阵P与Q。使得 令当中的Bi=PEiiQ，i=1，2，3一直到r，使得B=B1+B2+B3直到+Br，秩（Ai）=1，2，3直到r，相应的结论才能成立，形成秩的解析2。 2.2矩阵的积分解 矩阵当中的和分解，是指将整个矩阵分解为某一个矩阵的某些特定性质的矩阵的积。解决矩阵当中的积分解问题，应该应用到简单地构造原理，将矩阵分解问题整体化，简单化。 设B为n矩
5、阵，Bx=c为线性方程组，当中B能够分解成为B=B1B1，B1、B2均为三交矩阵，则相应的线性方程组Bx=c的求解转化为方程组B2x=y，B1y=c的求解问题。这一转化过程实际是B进行三角分解的形式，它的分解给方程组的解答提供了一个想对简单的方法，这其中的转化和分解的思想是教学思想的重要体现3。 定理1 设BMnr（B）为满秩（B）=r，则B可以唯一地分解为B=LY其中R是r的正阶正线上三角矩阵，于是BMnr（B）是秩为r的次酉矩阵。 证明 分解的存在性同上例，下证分解的唯一性. 设B=L1Y1，=L2Y2。 其中L2Y2Mnr（B）且秩均为r，L1，Y1为正线上三角矩阵则BHB=LH1Y1=
6、LH2Y2。 因为BMnr。所以ACrx0，有xHBHBx=Bx。 所以矩阵当中BHB可以确定，由二次等价定理可以得知，其三角形是唯一的，故此R1=R2，又由于其中的两个数值可逆，所以L1=L2，所以B可以直接唯一的分解为B=LY。 2.3矩阵分块 常见的矩阵分解形式除了矩阵的和分解与积分解之外还有相应的矩阵分块分解，就是将大的阵块与小的阵块进行分解，得出最相应的求解方式，应用相应的方块分解方式求解，过程的当中减少一定的复杂性4。 例1 设B=（bij），C=（cij）为nn阵，证明其中行列的乘积公式为 。 证明，作 设Fij=En，Bij，O，Ne。这里的Bij是nn矩阵，除了第i行与第j列
7、的元素Bij外，其中的元素性质都是零，根据相应的而变换关系可知 但是由于相应数值被改变，不是按照原来的行列数值，所以可得 故此可以得出5 这样的方式就证明了 。 结论高等代数当中蕴含的数学思想相当丰富，数学是我们生产生活当中离不开的一种教育方式，生活当中处处充斥着数学，同时矩阵在数学领域的应用也十分广泛。这使得数学思想一定程度上得到了很好的推广，文章中针对分解进行了相应的分解，对矩阵进行分析。将矩阵原理进行了相应的分析与介绍，随着信息时代的到来，应用计算机进行相应的矩阵分解，这对矩阵的分解提供了新的形势。极大地方便的当代的生产生活。充分应用教学思想应用于矩阵分解当中，不但将矩阵分解简单化，并且推动了教育事业的不断向前可持续发展。 第 6 页