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1、高考中函数导数的综合应用一瞥 近年来，高考对导数的考查形式和要求都发生了变化，由以前解决问题的辅助地位上升为解决问题必不可少的工具.以下例举其一二，与读者共享. 例1（陕西高考）已知函数f (x)=kx+1x2+c （c0且c1,kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c.(1)求函数f (x)的另一个极值点；(2)求函数f (x)的极大值M和极小值m，并求M-m1时k的取值范围. 解析由题意知函数的定义域为(-,+). （1）f (x)=k(x2+c)-2x(kx+1)(x2+c)2=-kx2-2x+ck(x2+c)2，由题意知f (-c)=0，即得c2k-2c-ck=0 (*
2、). 又因为c0,所以k0.由f (x)=0,得-kx2-2x+ck=0,即kx2+2x-ck=0.由韦达定理知另一个极值点为x=1(或x=c-2k). （2）由（*）得k=2c-1，即c=1+2k.当c1时，k0;当00时, f (x)在(-,-c)和(1,+)上是减函数，在（-c,1）上是增函数， 所以M=f (1)=k+1c+1=k20.又m=f (-c)=-kc+1c2+c=-k22(k+2)0,解得k2. 当k0,m=f (1)=k20成立?若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由. 解析（1）要使f (x)单调递减，则f (x)=3x2+3ax+32b0成立，即对任意的x0
3、有g(x)-1x0恒成立. 令h(x)=lnx+2x,h(x)=-lnx+1x2.当x(0,1/e)时,h(x)0;当x(1/e,-)时,h(x)0且x0时，h(x)- ,故h(x)在(0,+)上不存在最小值，这与（*）式的右边对任意的x0成立相矛盾，因此不存在x0R,使得|g(x)-f (x0)|0成立. 点评第（1）问用a,b表示|x2-x1|时，可直接使用求根公式，也可使用一元二次方程根与系数的关系|x2-x1|=(x1+x2)2-4x1x2=/|a|.利用等式两边都是整数的特点求解时，为防止漏解，我们要进行有序尝试，可选定a为主变量，当a从1到10依次取值时，再尝试b的取值是否符合要求. 第（2）问关键是读懂题意，此问的本质是求g(x)在x1/e2,e上的最小值m和最大值M,只不过是换了另一种表述方式罢了. 第（3）问研究不等式的恒成立问题，往往转化为研究相应函数的最值问题，这是我们较熟悉的.但碰到我们“熟悉”的问题，也要仔细思考，不要急于下手，当心掉入陷阱.此问中要注意lnxx的最大值是否存在，但lnxx+2x的最小值并不存在，所以要以“全局”的视角思考问题才能事半功倍. 第 3 页