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1、构造组合模型巧证组合恒等式构造组合模型巧证组合恒等式 证明组合恒等式，一般是利用组合数的性质、数学归纳法、二项式定理等，通过一些适当的计算或化简来完成但是，很多组合恒等式，也可直接利用组合数的意义来证明即构造一个组合问题的模型，把等式两边看成同一组问题的两种计算方法，由解的唯一性，即可证明组合恒等式例证明分析：原式左端为个元素中取个的组合数原式右端可看成是同一问题的另一种算法：把满足条件的组合分为两类，一类为不取某个元素，有种取法一类为必取有种取法由加法原理可知原式成立例证明分析：原式左端可看成一个班有个人，从中选出个人打扫卫生，在选出的个人中，人打扫教室，余下的人打扫环境卫生的选法数原式右端
2、可看成直接在人中选出人打扫教室，在余下的人中再选出人打扫环境卫生显然，两种算法计算的是同一个问题，结果当然是一致的以上两例虽然简单，但它揭示了用组合数的意义证明组合恒等式的一般思路：先由恒等式中意义比较明显的一边构造一个组合问题的模型，再根据加法原理或乘法原理对另一边进行分析若是几个数（组合数）相加的形式，可以把构造的组合问题进行适当分类，如例，若是几个数（组合数）相乘的形式，则应进行适当的分步计算，如例，当然，很多情况下是两者结合使用的例证明，其中当时证明：原式左边为个元素中选个元素的组合数今将这个元素分成两组，第一组为个元素，剩下的个元素为第二组，把取出的个元素，按在第一组取出的元素个数（
3、，）进行分类，这一类的取法数为于是，在个元素中取个元素的取法数又可写成?故原式成立例证明证明：原式右边为个元素中取个，元素的组合数，不失一般性，可以认为是在，共个数中取个数将取出的个数，由小到大排列，即设，按取出的最大数分类，显然，当时（，），这一类取法数为，所以取法总数又等于?原式成立对于某些组合恒等式，有时其左右两边所表示的意义都不易看出，但是如果根据组合数的特点仔细分析，或对原式进行一些适当的变形，往往可以巧妙地构造一个组合问题做为模型，证明就可化难为易例证明分析：注意，原式左端等价于，这里可表示先在个元素里选个，再在这个元素里选一个的组合数，可设一个班有个同学，选出若干人（至少人）组成
4、一个代表团，并指定一人为团长把这种选法按取到的人数分类（，），则选法总数即为原式左端今换一种选法，先选团长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以团员的选法有种即选法总数为种显然两种选法是一致的这里应注意的意义，并能用组合意义证明?例证明（）分析：本题左边与例左边类似，不同的是例左边为?，而本题为?只要在例构造的模型中加上同时还要选一个干事，并且干事和团长可以是同一个人，即可符合原式左边对原式右边我们可分为团长和干事是否是同一个人两类情况若团长和干事是同一个人，则有种选法；若团长和干事不是同一个人，则有（）种选法所以，共有（）（）种选法例证明（）（）（）（）分析：注意到（），
5、可设一个班有个男生与个女生，在这个学生中选个同学（至少有名男生）组成一个代表团，并指定其中一名男生为团长，按选出的男生人数（，）分类，这一类有（）种选法，总的选法有?（）种原式右边的组合意义是明显的，即直接在个男生中选一名团长，有种选法，再从剩下的人中选出人为团员，共有种选法要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。唐宋或更早之前，针对“经学”“律
6、学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。掌握了
7、用组合意义证明组合恒等式这种方法后，还可通过构造一个组合问题的模型，编拟组合恒等式习题如在例中除了要选一名团长外，还要选一名干事和一名联络员（可以兼职）便可得?（）具体证法可参照例与例又如，在例中除了在个同学中选出个团员及指定一名男生为团长外，还要有一名男生担任联络员（可以兼职），则可得组合恒等式：?（）（）若在例中要求，留下的女生中再选一名负责人，则有组合恒等式?（）具体证明读者可自己完成实际上习题的编拟过程就是用组合意义证明恒等式的过程要练说，先练胆。说话胆小是幼儿语言发展的障碍。不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。总之
8、，说话时外部表现不自然。我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。若把恒等式中较简单的一边去掉，变为化简组合式，用此法同样能完成化简，读者可自己体会用组合数的意义证明组合恒等式，除了对提高学生的智力及观察分析问题的能力有帮助外，还有它独到的好处，那就是把抽象的组合数还原为实际问题，能提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，把枯燥的公式还原为有趣的实例，能提高学生的学习兴趣所以，老师在学过程中适当介绍一些这方面的内容，将是大有益处的第 6 页