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1、欧多克索斯的穷举法作者：学夫子如果从任何一个量中减去不少于其一半的一部分，然后再余量减去不少于其一半的一部分，并且，如果让这个减的过程继续下去，最后总会得到一个余量，小于任何一个预先给定的任何量。这个命题，我们称之为“穷举法”数学史柏拉图时代是继于英雄时代之后的，其多处数学思想不可避免受到英雄时代遗留下来的数学思想的影响。我们说过，英雄时代的主要功绩之一，是不可公度量的发现和无限小的讨论，由于不可公度量的存在，使得人们不敢使用毕氏学派留下来的比例理论；无限小的理论以前一直是模棱两可，没有什么大的作用。这两点都在欧多克索斯的笔下得到了很好的解决和发扬。首先我们来看看欧多克索斯在比例理论方面的努力
2、。一：比例理论在毕氏学派，任何两个量都可以相比，因为所有数都是可比的，但是当不可公度量出现时，毕氏学派的比例理论就不再适用，一个首要的问题摆在眼前：如何比较两个不可公度量之比？那么我们首先需要来定义“等比”的概念，貌似希波克拉底已经证明了两个圆的面积之比等于其半径平方之比，若果真如此的话，那么希波克拉底应该有处理“实数范围内的比”的方法，遗憾那个时代没有留下任何数学作品，所以我们无从得知。我们知道的是，只有欧多克索斯重新给出了一个新的、被普遍接受的等比定义：只有同类量才能做比值，设有a、b、c、d四个量，如果对于任意的整数m和n，都有若manb则mcnd，或若ma=nb则mc=nd，或若man
3、b则mcnd，则a/b=c/d。如果我们令k=m/n，实际上这个定义可以简化为下面的定义：如果对于任意的有理数k，当a/bk时，就有c/dk；当a/bk时，就有c/dk；当a/b=k时，就有c/d=k，那么a/b=c/d。实际上我们看到，这个定义其实并无多大实用性，至少在他那个时代是如此。这个定义的好处就在于，他利用有理数成功对无理数的等比进行了定义。我想上过高等数学的朋友都应该可以看出来，这个定义里面隐约蕴含着极限的思想，实际上这与19世纪才出来的实数定义相去不远，而且19世纪实数的定义也是由欧多克索斯发展而来的，有兴趣的朋友可以参考几何原本第五篇以及戴金德分割理论。只不过不同的是，欧多克索
4、斯是从几何上发展出来的，并且认为只有几何能表示无理数，比如直角三角形斜边的长度。尽管提出了比例的概念，但是欧多克索斯绝不给任何一个几何量赋予数值，因为数值无法表示无理数。本来在毕氏学派，数量占据主导位置，在欧多克索斯这里被颠倒过来，只有几何才能表述真理，以至于从他开始，往后的较长时间内，几何都是数学研究的主要形式，甚至于到现在也有影子我们仍然管教x2叫x的平方，x3叫x的立方，这显然是一个几何术语。不过这个定义的作用是明显的，他成果化解了有不可公度量带来的矛盾，若是想从中细心体会，最好读读相关著作。二：穷举法欧多克索斯的第二大贡献，便是穷举法的创立，这确实是微积分最初的思想，这种方法基于这样一
5、个命题：如果从任何一个量中减去不少于其一半的一部分，然后再余量减去不少于其一半的一部分，并且，如果让这个减的过程继续下去，最后总会得到一个余量，小于任何一个预先给定的任何量。可以看得出来，这个命题完全就是现今的极限思想，只不过差一个符号系统的描述而已。穷举法应用的一个典型例子，就是证明“两圆的面积比等于其半径之比的平方”，这个方法的前提是基于这样一个定理：正n边形的面积之比等于其外接圆半径的平方比。用符号语言来描述是：设两个圆为半径为d和D，面积为a和A，求证：a/A=d2/D2.证明：假设a/Ad2/D2.那么一定存在一个量a使得a/A=d2/D2,令e=a-a0。考虑在两圆中做内接正多边形
6、qn和Qn，他们具有相同的边数，若将多边形的边数加倍，很容易看出来，我们将“介于圆内和正多边形外”部分的面积减去一半以上的面积，那么根据命题，一定存在着一个n，使得a-qne,又由于e=a-a，所以就有qna。这样根据已有的结论qn/Qn=d2/D2=a/A，由于qna，必然有PnA，也就是说圆内接正多边形的面积要大于圆的面积，这显然是矛盾的。同理可证当a/Ad2/D2时也是错误的。这样便证明了定理。唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。“教授”和“助教”
7、均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。这种思想想说他有多伟大都不过分，这是微积分的最初思想，不过希腊人并没有发展出完整的极限理论，但其中的很多描述已经十分接近现代数学的描述。除此之外，他还证明了诸如“圆锥的体
8、积等于底面积与高的乘积的三分之一”等几何定理；另外一个非常重要的贡献在于，是他第一次提出公理化数学系统，我们知道的，欧几里得大大发扬了这种方法；并且极有可能是他首次开始研究黄金分割比；欧多克索斯还在天文学等方面有许多独到的见解。不过让其赢得名声的的主要资格还是比例论和穷举法。要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。欧多克索斯能被数学史铭记，除了自
9、己的贡献，还在于其弟子的贡献，就好像我们铭记柏拉图对数学的贡献，并不在于柏拉图本人在数学上的成就一般。柏拉图问学与阿契塔、西奥多罗斯和泰阿泰德，其影响又经过欧多克索斯传递给了门奈赫莫斯和迪诺斯特拉图兄弟。这两兄弟的主要贡献，在于他们对几何三大作图问题的研究，更在于从研究中发现的数学理论。（观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清
10、。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀样，给大树开刀治病。通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。第 5 页