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1、生命成长发育的数学定律进化论的诞生之日向前推移近一百年，在二十世纪中期，另一个生物学上的里程碑被树立了，那就是生物体中的DNA基因的发现。二十世纪的前五十年可以说是物理学的黄金时期，物理学的发展推动了整个科学技术的前进，也潜移默化地促成了生物学的这一重大发现。1953年4月25日，年轻的美国哈佛大学科学家詹姆斯沃森（JamesWatson,1928）和英国剑桥大学科学家弗朗西斯克里克(FrancisCrick，1916-2018)在英国自然杂志发表题为“核酸的分子结构”的短文，正式提出DNA（脱氧核糖核酸）双螺旋结构模型。这一发现仅仅过了不到十年就获得了1962年诺贝尔生理医学奖，也被认为是二
2、十世纪最重要的科学发现之一。在2018年，世界范围都有不同形式的活动纪念DNA发现五十周年。（有兴趣的读者可到自然杂志网站这一历史性文章.）双螺旋发现五十周年纪念日前夕，多国合作的人类基因组序列图宣告提前绘成，人体DNA中三十亿个碱基的排列顺序，已经成为各国科学家免费取用的数据。DNA基因的发现无疑是人类历史上重要的一刻。人类基因组由31.647亿个碱基对组成，共有3万至3.5万个基因。此前，参与“人类基因组测序计划”的各国科学家已于2000年6月和2018年分别公布了人类基因组草图和完成图，完成了对30多亿个碱基对排列顺序的测定。但这仅仅是阅读人类自身奥秘这部“天书”的第一步，科学家还需要进
3、行更加精确的测序、逐一定位基因并进行个性差异、蛋白组学等的研究。DNA基因究竟是不是生命的奥秘呢？可以说是，但又不完全是。这里让我们引用英国著名科普作家伊恩斯图尔特（IanStewart)的书生命的另一个奥秘的解释吧：DNA是生命的第一个奥秘；在地球上每种生命体内，都有这种复杂的DNA分子密码，称为基因；这套密码宛如一部“生命之书”，指定了生命体内的形态，生长，发育及行为。但是基因也并非生命的全部奥秘，它并不象工程用的蓝图，而更象是菜谱上的烹饪方法；它会告诉我们要用哪些材料，用多少量，次序如何，但并不完全决定结果-菜谱和真正的美食还是不一样的。在生命诞生过程中，控制生命体成长，告诉生物如何应对
4、遗传指令的，是物理及化学反应中的数学定律。数学如何控制生物体的生长，这就是生命的另一个奥秘！其实人类早就明白生物的成长会依赖于自然环境中的物理和化学因素，中国古语中的“淮南桔，而淮北枳”已经就有这样的思想，然而使用数学来定量定性地分析这样的现象，还是要等到二十世纪后半叶了。那么生命成长发育的数学定律究竟是什么呢？准确说来目前还没有哪种模型或方程象牛顿力学可以被称为完全精确的数学定律，但是有一些数学模型或方程今天已经被许多生物学家和其他科学家认可。本文中主要介绍的就是描述生物成长发育的反应扩散方程组(Reaction-diffusionsystems)。首先我们认为生物成长是一种复杂的化学反应过
5、程，其中可能有几十上百甚至更多的化学物质参加反应。但是在生物体某一局部（象器官，组织，甚至细胞）的反应，可能主要就是少数几种化学成分起决定性作用。我们以两种化学物质参加反应为例。从微观角度来看，两种化学物质的分子都象小球一样在介质中穿梭游弋，而分子间如果碰撞就可能发生化学反应。物理学中分子的随机游弋被称为布朗运动，在数学中可以用扩散方程（热传导方程）来描述分子的分布密度函数。而分子间的化学反应则可以用一些反应函数来刻划。如果我们用u(x,t)和v(x,t)来代表两种化学物质的分布密度函数，这里x代表空间中的一个点，t代表时间，那么相应的反应扩散方程组是：在方程中，Du和Dv分别是两种化学物质的
6、扩散系数，f(u,v)和g(u,v)是两个二元反应函数，是多元微积分中的拉普拉斯算子,即对于每个空间分量的二介导数之和。由拉普拉斯算子作为数学表示的扩散过程在自然科学各个分支都被认可为物质自由运动的方式，既可以是微观世界的分子运动，也可以是大的生物种群的迁徙漫游。热传导方程从十八，十九世纪就被欧拉，拉普拉斯，傅里叶等数学物理学先驱所研究，他们得到的数学结果和实际也很相符：热量（或者任何一种满足这一原理的物质）最后在一个与外界隔绝的空间中均匀分布。所以扩散一般被认为是一种光滑化，平均化的一种物理过程。这一现象甚至对于一种物质的反应扩散方程都对。阿兰图灵与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早
7、也要追溯至宋元时期。金代元好问示侄孙伯安诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。可见，“教师”一说是比较晚的事了。如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。然而在沃森和克里克发现DNA结构的前一年，1952年，英国科学家阿兰图灵（1912-1954)发表了一篇题为生物形态的化学基础的论文。他提出了上述的反应扩散方程组作为生物形态的基本化学反应模型，并且指出这
8、一方程组可以有非常数平衡解，也就是说两种化学物质最后的分布状态可以是非均匀的，这和热传导方程及一种物质的反应扩散方程的解都大相径庭。一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才之子师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。图灵对于反应扩散方程组的想法基本是这样：如果方程有一个常数平衡解（U，V），
9、也就是代数方程组f(u,v)=0，g(u,v)=0的解，而且这个解对于常微分方程组：u=f(u,v),v=g(u,v)是稳定的；但是在加上扩散后这个解就变成不稳定的，那么我们称这个解具有扩散所诱导的不稳定性。因为扩散往往给物理系统带来光滑性，稳定性，所以这一想法乍一看可说是有韪常理。但是图灵指出如果两个扩散系数相差很大时，这种现象是可能发生的，并且当常数解变不稳定后，也就间接说明依赖空间变量的非常数解的存在性-图灵认为这种非常数解恰好说明生物在生长历程中为什么形态各异，而不是单一结构，甚至也隐含了细胞结构分裂，分化的物理化学过程。图灵的理论在当时恐怕比DNA的发现更为大大超前，以至于发表后的前二十年默默无闻，然而在二十世纪七十年代后成了非线性科学发展的重要动力之一。（第 5 页