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1、第七讲 从不定方程1/n = 1/x + 1/y的整数解谈起求不定方程的整数解.这里n是取定的一个自然数.对于方程要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 显见x=y=12是一个整数解.还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习
2、、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 式更简明，我们不妨把x-6看成一个整体，即令t=x-6，那么x=t6.因此“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生
3、”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。个未知数x、y的困难问题，转换成找简单的62的因子t的问题了.一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62有因子6、1和36，2和18，3和12，4和9.6称为自补的因子.后面的2和18等都称
4、为互补因子，这样，不妨记为：t0=6，t11，t1=36；t2=2，t2=18；t3=3，t3=12；t4=4， 这里t和t是62=36的互补因子（当tt6时自补因子也包括在内），所以成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t，则就可得到全部解。例如，求不定方程：（即n12）的整数解，首先分解122（223）22432，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。“单位分数”（分子为1分母为整数）的和，那
5、么我们相当于求：的整数解，例如求解在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。（1，4），（2，2）.可有并且可断言只有这三种形式.为证明这一论断，先介绍“推广的抽屉原理”（称之为平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值.（注意，这里的数不局限于整数）故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看（我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式.其实（5）式又可以改变形式写成：它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习
6、题）。公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便.例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和。而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和，如分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解n2的因子，而只要）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6个因子任取2个配成一个组合，共有15种：（1，2），(1，3），（1，4），（1，6），（1，12）（2，3），（2，4），（2，6），（2，12）（3，4），（3，6），（3，12）（4，6），（4，12）（6，12）种情况即可.子不是1的，例如那么请问是否只有两种方式？答：是
7、.理由呢？因为由推广的抽屉原理，求整数解呢？约分后分母为15，所以x，y为15，215，315，以下分情况讨论。y=15）的情况应排除。析，如y大于15，y是x与y可能的最小公倍数30，45，60，中某一个数的约数； 单位分数，排除y=9.同样，也可排除y=11，12，13，14.只有y=10一种可能。从上例看出分数形式不定方程求整数解不是很容易的.一些国际一流的数学家也致力于这类问题的研究.如1950年，厄尔丢斯猜想：科学家柯召、孙琦等证明了n4105=400000时，猜想成立.1965年有人把n推进到n107，1978年又将n推进到了n108。另有谢平斯基（Sierpinski）猜想：来证明.对于大多数小学生来讲，现在功力有限，只能在最简单的情况下一试身手。分情况讨论：对于方程（7），再用推广的抽屉原理，有又3=xy，这样，y=3或y=4，代入（8）后知（8）无解.习题七 1. 求不定方程的全部整数解。2. 求不定方程的整数解中，使x+y为最小以及最大的两组解。3. 应用公式（5），证明：4. 证明：5. 求不定方程的整数解，你能求出全部整数解并证明再没有别的角吗？6. 计算 第 7 页