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1、第四讲 最大公约数和最小公倍数课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 本讲重点解决与最大公约
2、数和最小公倍数有关的另一类问题有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（ad，bd）1。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注
3、意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。 证明：设ad=a1，bd=b1，那么aa1
4、d，b=b1d。假设（a1，b1）1，可设（a1，b1）m（m1），于是有a1=a2m，b1b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1da2md，bb1db2md。那么md是a、b的公约数。又m1，mdd。这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（ad，bd）1。定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：
5、由甲数乙数=甲、乙两数的最大公约数两数的最小公倍数，可得36乙数=4288，乙数=428836，解出 乙数=32。答：乙数是32。解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=49，设乙数=4b1，且（b1，9）=1。因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则 28849b1， b128836，解出 b18。所以，乙数=48=32。答：乙数是32。例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，ab。因为这两个数的最大公约数是21，故设a=21a1，b21b1，且（a1，b1）1。因为这两个数的最
6、小公倍数是126，所以 126=21a1b1，于是 a1b1=6，因此，这两个数的和为21126=147，或4263=105。答：这两个数的和为147或105。例3 已知两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，ab.因为这两个自然数的最大公约数是5，故设a=5a1，b=5b1，且（a1，b1）=1，a1b1。因为 ab=50， 所以有5a1+5b1=50，a1+b1=10。满足（a1，b1）=1，a1b1的解有：答：这两个数为5与45或15与35。例4 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。解：设这两个数为a与b，ab，且
7、设（a，b）d，ada1，bdb1，其中（a1，b1）1。因为两个自然数的积=两数的最大公约数两数的最小公倍数，所以 240=d60，解出 d4，所以 a=4a1，b=4b1.因为a与b的最小公倍数为60，所以 4a1b160，于是有 a1b115。答：这两个数为4与60或12与20。例5 已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，ab，（a，b）d，ada1，bdb1，其中（a1，b1）1。因为a+b54，所以da1+db1=54。于是有d（a1b1）54，因此，d是54的约数。又因为这两个数的最小公倍数与最大公约数的
8、差为114，所以da1b1-d=114，于是有d（a1b1-1）=114，因此，d是114的约数。故d为54与114的公约数。由于（54，114）6，6的约数有：1、2、3、6，根据定理3，d可能取1、2、3、6这四个值。如果d1，由d（a1+b1）54，有a1b1=54；又由d（a1b1-1）114，有a1b1=115。115=1115=523，但是1115=11654，523=2854，所以d1.如果d2，由d（a1b1）54，有a1+b1=27；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=58。58158229，但是1585927，2+293127，所以d2。如果d=3，由d（a1b1）
9、=54，有a1+b118；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=39。39139313，但是1394018，3131618，所以d3。如果d=6，由d（a1b1）=54，有a1b1=9；又由d（a1b1-1）=114，有a1b1=20。20表示成两个互质数的乘积有两种形式：20=12045，虽然120=219，但是有459，所以取d6是合适的，并有a1=4，b15。a6424，b6530。答：这两个数为24和30。例6 已知两个自然数的差为4，它们的最大公约数与最小公倍数的积为252，求这两个自然数。解：设这两个自然数分别为a与b，且ab，ada1，b=db1，（a1，b1）1。因为a-
10、b=4，所以da1-db1=4，于是有d（a1-b1）=4，因此d为4的约数。因为这两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积为252，所以dda1b1252，于是有d2a1b1=（23）27，因此d为23的约数。故d为4与23的公约数。由于（4，23）2，2的约数有1和2两个，所以d可能取1、2这两个值。如果d=1，由d（a1-b1）=4，有a1-b1=4；又由d2a1b1=252，有a1b1=252。252表示成两个互质数的乘积有4种形式：252=1252=463=736928，但是252-12514，63-4594，36-7=294，28-9194，所以d1。如果d=2，由d（a1-b1）=
11、4，有a1-b1=2；又由d2a1b1252，有a1b1=63。63表示为两个互质数的乘积有两种形式：63163=79，但63-1622，而9-72，且（9，7）=1，所以d=2，并且a19，b17。因此a=2918，b2714。答：这两个数为18和14。在例2例5的解答中之所以可以在假设中排除a=b这种情形（在各例中都只假设了ab），分别是由于：例2和例5，若ab，则（a，b）a，ba，与条件（a，b）a，b矛盾；例3，若a=b，则ab=（a，b）=5，因此ab1050，与条件矛盾；例4，ab=240不是平方数。从例题的解答中可以看出，在处理涉及两数的最大公约数或者最小公倍数的很多问题中，经
12、常用到的基本关系是：若两数为a、b，那么a=a1d，bb1d，其中d=（a，b），（a1，b1）1，因此a，bda1b1，有时为了确定起见，可设ab.对于很多情形，可以排除a=b的情形（如上述所示），而只假设ab.习题四1.已知某数与24的最大公约数为4，最小公倍数为168，求此数。2.已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数。3.已知两个自然数的和为165，它们的最大公约数为15，求这两个数。4.已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。5.已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公约数的差为450，求这两个自然数。6.已知两个自然数的平方和为900，它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数.第 6 页