《2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版选修1_12017.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版选修1_12017.doc（22页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.3全称量词与存在量词13.1量词全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x5.(2)对任意一个x(xZ)，3x1是整数问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x5；(2)对所有的整数x,3x1必定是整数全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式xM，p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x17.(2)至少有一个xZ，使x能被3和4整除问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x17；(2)存在一个整数Z，满足能被3和4
2、整除存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式xM，p(x)1判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题全称命题、存在性命题的判断例1判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若a0且a1，
3、则对任意x，ax0；(2)对任意实数x1，x2，若x1x2，则tan x1tan x2；(3)存在实数T，使得|sin(xT)|sin x|；(4)存在实数x，使得x21sin x；xR,3x0；xR，sin xcos x2；xR，lg x0.其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号)解析：中，由于x，所以sin x0,0cos x0，所以是真命题；中，函数y3x，xR的值域是(0，)，所以是真命题；中，函数ysin xcos x sin，xR的值域是，又2， ，所以是假命题；中，由于lg 10，所以是真命题答案：5判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数；(2)xR，x211；(3)对每
4、一个无理数x，x2也是无理数解：(1)2是素数，但不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)xRx20x211.所以，全称命题“xR，x211”是真命题(3)是无理数，但()22是有理数所以，“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题6分别判断下列存在性命题的真假：(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标；(2)存在xR，使sin xcos x2.解：(1)真命题设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x2x1，y2y1)，由得如A(1,3)，B(2,6)，(x2x1，y2y1)(1,3)，满足题意(2)假命题由于sin xcos xsin的最大值为，所以不存在实数x，使sin x
5、cos x2.1判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断2要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题3要判定存在性命题“xM，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题是假命题对应课时跟踪训练(五) 1下列命题：有的质数是偶数；与同一平面所成的角相等的两条直线平行；有
6、的三角形的三个内角成等差数列；与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是_，是存在性命题的是_(只填序号)解析：根据所含量词可知是全称命题，是存在性命题答案：2下列命题中的假命题是_xR,2x10；xN*，(x1)20；xR，lg x0”为真命题，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，不等式为10，对xR,10成立当a0时，若xR，ax22ax10，则解得0a0)；(2)对任意非零实数x1，x2，若x1x2，则；(3)R，使得sin()sin ；(4)xR，使得x210.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题(1)zx0(z0)恒成立，命题(1)是真命题(2)存在x1
7、1，x21，x1x2，但；(2)，使cos()cos cos ；(3)x，yN，都有(xy)N；(4)x，yZ，使xy3.解：(1)法一：当xR时，x2x12，所以该命题是真命题法二：x2x1x2x0，由于141的解集是R，所以该命题是真命题(2)当，时，cos()coscoscos ，cos cos cos cos 0，此时cos ()cos cos ，所以该命题是真命题(3)当x2，y4时，xy2N，所以该命题是假命题(4)当x0，y3时，xy3，即x，yZ，使xy3，所以该命题是真命题8(1)对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立，求实数m的取值范围；(2)存在实数x，不等式
8、sin xcos xm有解，求实数m的取值范围解：(1)令ysin xcos x，xR.ysin xcos xsin(x).又xR，sin xcos xm恒成立只要mm有解只要m0，故(1)是假命题命题的否定：存在xR，x3x210.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题命题的否定：存在xQ，x2x1不是有理数一点通(1)全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键(2)常见
9、词语的否定：原词否定词原词否定词原词否定词等于不等于是不是至少一个一个也没有大于不大于都是不都是任意某个小于不小于至多一个至少两个所有的某些1指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x22x10.解：(1)xM，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，xM，綈p(x)(2)xM，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，xM，綈p(x)(3)xM，p(x)，否定：xR，x22x10，xM，綈p(x)2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行
10、四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数解：(1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形且它的内角和不等于180.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下(3)是全称命题且为真命题命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行(4)是全称命题且为真命题命题的否定：某个负数的平方不是正数.存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)x0，y0Z，使得x0y03.思路点拨它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假精解详
11、析(1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”由于|2|2，因此命题的否定为假命题(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题(3)命题的否定是：“x，yZ，xy3”因为当x0，y3时，xy3，因此命题的否定是假命题一点通(1)存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“xM，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“xM，綈p(x)成立”(2)要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可(3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”例如
12、：三角形存在外接圆这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：x0R，x10；(2)p：至少有一个实数x，使x310.解：(1)綈p：xR，x210，真命题(2)綈p：xR，x310x1时，x310，綈p为假命题4判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一条直线在y轴上有截距；(2)存在二次函数的图像与x轴相交；(3)存在一个三角形，它的内角和小于180；(4)存在一个四边形没有外接圆解：(1)与y轴平行的直线在y轴上没有截距，其他直线在y轴上都有截距，所以，此命题是真命题命题的否定是：所有
13、的直线在y轴上没有截距；(2)对于二次函数yax2bxc(a0)，当0时，函数图像与x轴有交点，所以，此命题是真命题，命题的否定是：所有二次函数的图像与x轴不相交；(3)任何三角形内角和都等于180.所以，此命题是假命题命题的否定是：任何三角形的内角和不小于180；(4)对角不互补的四边形就没有外接圆，所以，此命题是真命题命题的否定是：任何四边形都有外接圆.含有一个量词的命题的综合应用例3若全称命题“对任意x1，)，x22ax2a恒成立”是真命题，求实数a的取值范围思路点拨由于此全称命题是真命题，所以可以推出a的值，求出在x1，)时，f(x)mina，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题精解
14、详析法一：由题意，对任意x1，)，令f(x)x22ax2a恒成立所以f(x)(xa)22a2可转化为对任意x1，)，f(x)mina成立，即对任意x1，)，f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina，知a3,1所以实数a的取值范围是3,1法二：x22ax2a，即x22ax2a0.令f(x)x22ax2a，所以全称命题转化为对任意x1，)，f(x)0恒成立所以0，或即2a1，或3a2.所以3a1.综上，所求实数a的取值范围是3,1一点通对任意x1，)，f(x)a，只需f(x)mina.也可等价转化为对任意x1，)，x22ax2a0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图像间的关系求解5
15、若命题：“xk，m4sin xcos x”是真命题，求m的取值范围解：4sin xcos 2x2sin2x4sin x12(sin x1)23，又xR时，1sin x1，4sin xcos 2x5,3则当m0满足条件当a0时，若方程ax22x10至少有一个正实数根则44a0，则a1.又因x0时，ax22x110恒成立故a1时，一定有正实根综上：a的取值范围为1，)对含有一个量词的命题的否定要遵循以下步骤：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有
16、”“不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定对应课时跟踪训练(六) 1(重庆高考改编)命题“对任意xR，都有x20”的否定是_解析：因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”故“对任意xR，都有x20”的否定是“存在xR，使得x20”答案：存在xR，使得x20”的否定是_解析：全称命题的否定是存在性命题答案：xR，x2x304命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是_解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”答案：存在能被2整除的整数不是偶数5若命题“xR，使得x2(a1)x10”为假命题，则实数a的
17、取值范围是_解析：该命题p的否定是綈p：“xR，x2(a1)x10”，即关于x的一元二次不等式x2(a1)x10的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以(a1)240，解得1a3，所以实数a的取值范围是(1,3)答案：(1,3)6设语句q(x)：cossin x：(1)写出q，并判定它是不是真命题；(2)写出“aR，q(a)”，并判断它是不是真命题解：(1)q：cossin ，因为cos 01，sin 1，所以q是真命题(2)aR，q(a)：cossin a，因为coscossin a，所以“aR，q(a)”是真命题7写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：不论m取何实数，方
18、程x2xm0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2x10；(3)r：等圆的面积相等，周长相等解：(1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是綈p：“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”当14m0，即m0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题8x1,2，使4x2x12a0恒成立，求实数a的取值范围解：已知不等式化为22x22x2a0.令t2x，x1,2，t，则不等式化为：t22t2at22t2，原命题等价于：t，at22t2恒成立，令yt22t2
19、(t1)21，当t时，ymax10.所以只须a10即可即所求实数a的取值范围是(10，)对应学生用书P17一、命题及其关系1命题能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等语句都不是命题2四种命题原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命题二、充分条件、必要条件与充要条件关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的判定：若“pq”，且“p/ q”，则p是q的“充分不必要条件”，
20、同时q是p的“必要不充分条件”；若“pq”，则p是q的“充要条件”，同时q是p的“充要条件”；若“p/ q”，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要条件”三、逻辑联结词1“且”“或”“非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题有“pq”“pq”“綈p”三种形式2含逻辑联结词的命题的真假判断：“pq”中有真为真，“pq”有假为假，綈p与p真假相反3注意命题的否定与否命题的区别否命题既否定条件又否定结论；而命题的否定只否定结论四、全称命题和存在性命题1全称命题“xM，p(x)”强调命题的一般性，因此，(1)要证明它是真命题，
21、需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可2存在性命题“xM，p(x)”强调结论的存在性，因此，(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可(2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立五、含有一个量词的命题的否定1全称命题的否定一定是存在性命题p：xM，p(x)成立；綈p：xM，綈p(x)成立2存在性命题的否定一定是全称命题p：xM，p(x)成立；綈p：xM，綈p(x)成立3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词改为全称量词，然后再
22、把判断词加以否定(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分将答案填在题中的横线上)1命题：“若ab0，则a0或b0”的逆否命题是_答案：若a0且b0，则ab02命题“xR，x22x10”的否定是_解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题答案：xR，x22x103设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的_条件解析：l1与l2平行的充要条件是a(a1)21，且a41(1)，可解得a1或a2，故a1是l1l2的充分不必要条件答案：充分不必要4已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数则下列命题中为真命题
23、的是_(填所有真命题的序号)(綈p)q；pq；pq；(綈p)(綈q)解析：命题p真，命题q假，因此綈p假，綈q真，是假命题，假命题，真命题，真命题答案：5下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“正三角形的三个角均为60”的否命题；“若k0，则方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命题其中真命题的个数是_个解析：显然假，真，对于，当k0，故为真答案：26(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的_条件解析：便宜没好货，等价于其逆否命题，好货不便宜，“不便宜”是“好货”的必要不充分条件答案：必要不充分7(湖南高考改编)“1x2”是“x2”成立
24、的_条件解析：设Ax|1x2，Bx|x2，故AB，即当x0A时，有x0B，反之不一定成立因此“1x2”是“x0的等差数列an的四个命题：p1：数列an是递增数列；p2：数列nan是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列an3nd是递增数列其中的真命题为_解析：设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n12，则满足已知，但nan3n212n并非递增数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知，但1是递减数列，所以p3为假命题；由于an3nd4dna1d，它是递增数列，所以p4为真命题答案：p1，p410命题p：任意两个等边三角形都是相似的它的否定是_；否命题
25、是_答案：存在两个等边三角形不相似如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似11已知命题p：不等式|x1|m的解集是R，命题q：f(x)在区间(0，)上是减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是_解析：命题p：m0，命题q：m2.p与q一真一假，或解得0m2.答案：0,2)12下列结论中正确命题的个数是_命题p：“xR，x220”的否定形式为綈p：“xR，x22N”是“()M()N”的充分不必要条件解析：对于，易知是正确的；对于，由綈p是q的必要条件知：q綈p则p綈q，即p是綈q的充分条件，正确；对于，由MN不能得知()M()N，因此是错误的综上所述，其中正确
26、的命题个数是2.答案：213从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中，选出适当的一种填空：(1)记集合A1，p,2，B2,3，则“p3”是“ABB”的_；(2)“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的_解析：(1)当p3时，A1,2,3，此时ABB；若ABB，则必有p3.因此“p3”是“ABB”的充要条件(2)当a1时，f(x)|2xa|2x1|在上是增函数；但由f(x)|2xa|在区间上是增函数不能得到a1，如当a0时，函数f(x)|2xa|2x|在区间上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa|在区间上为增函数”的充分不必要条件答案：(
27、1)充要条件(2)充分不必要条件14已知命题p：“x0,1，aex”，命题q：“xR，x24xa0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为_解析：由x0,1，aex，得ae；由xR，x24xa0，得424a0，解得a4，从而a的取值范围为e,4答案：e,4二、解答题(本大题共6小题，共90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x210；(4)p：x，yR，x2y22x4y50.解：(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能
28、被3整除綈p为真命题(2)綈p：所有的素数都不是偶数因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题(3)綈p：对任意的实数x，都有x210.綈p为真命题(4)綈p：x0，y0R，xy2x04y050.綈p为真命题16(本小题满分14分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题(1)若，则sin sin ；(2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形；(3)已知a，b，c，d都是实数，若ab，cd，则acbd.解：(1)逆命题：若sin sin ，则；否命题：若，则sin sin ；逆否命题：若sin sin ，则.(2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相
29、等，则梯形不是等腰梯形；逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对角线不相等(3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab，cd；否定题：已知a，b，c，d都是实数，若ab或cd，则acbd；逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab或cd.17(本小题满分14分)已知p：2x29xa0，q：且綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围解：由得即2x3.q：2x3.设Ax|2x29xa0，Bx|2x3，綈p綈q，qp.BA.即2x3满足2x29xa0.设f(x)2x29xa，要使2x3满足不等式2x29xa0，需有即a9.实数a的取值范围是a|a918(本小题满分16分)设有两个命题：p：关于x的不等式x22x4a0对一切xR恒成立；q：已知a0，a1，函数y|a|x在R上是减函数，若pq为假命题，pq为真命题，求实数a的取值范围解：不等式x22x4a0对xR恒成立，x22x4