《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线学案苏教版选修1_1201711093.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线学案苏教版选修1_1201711093.doc（32页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.4抛物线24.1抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y212x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y212x.问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x212y，x212y.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y22px(p0)x向右y22px(p0)x向左x22py(p0)y向上x22py(p0)y向下1平面内到一个定点F和
2、一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程yax2(a0)，求它的焦点坐标和准线方程思路点拨由题意yax2，(a0)，可化为x2y，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程精解详析将抛物线方程化为标准方程x2y(a0)，显然抛物线焦点在y轴上，(1)当a0时，p，焦点坐标F，准线方程y.(2)当a0)，其准线方程为x，则3，p6.抛物线标准方程为y212x.(2)设抛物线标准方程为y22px(p0)焦点坐标为，p5.抛物线标
3、准方程为y210x.一点通待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3以双曲线1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为_解析：双曲线1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y216x.答案：y216x4根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解：(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(
4、p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.抛物线方程的应用例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置思路点拨建
5、立直角坐标系，设出标准方程为y22px(p0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p.精解详析如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(p0)由已知条件可知点A(40,30)，代入方程，得p.所求抛物线的标准方程是y2x，焦点坐标是.一点通将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解
6、：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y22px(p0)，可知其准线为x，即910，则p2，所以抛物线为y24x，当x9时，y236，得y6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，6)6已知动圆M与直线y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.7一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为
7、a m，求使卡车通过的a的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21.a应取13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)对应课时跟
8、踪训练(十二) 1抛物线x28y的焦点坐标是_解析：由抛物线方程x28y知，抛物线焦点在y轴上，由2p8，得2，所以焦点坐标为(0,2)答案：(0,2)2已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为_解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x轴上，且过p(3，m)，可设抛物线方程为y22px(p0)，由抛物线的定义可知，35.p4.抛物线方程为y28x.答案：y28x3若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆1的右焦点为(2,0)，由2，得p4.答案：44抛物线x2ay的准线方程是y2，则实数a的值是_解析：由条件知，a0，且
9、2，a8.答案：85双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为_解析：y24x的焦点为(1,0)，则c1，2，a，即ma2，nc2a2，mn.答案：6根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5.解：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)，且3，p6，方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得5AF.又(3)22pm，p1或p9，故所求
10、抛物线方程为y22x或y218x.7设抛物线y2mx(m0)的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程解：当m0时，由2pm，得，这时抛物线的准线方程是x.抛物线的准线与直线x1的距离为3，13，解得m8，这时抛物线的方程是y28x.当m0时，13，解得m16.这时抛物线的方程是y216x.综上，所求抛物线方程为y28x或y216x.8一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水宽4 m，若水面下降1 m，求水的宽度解：如图建立直角坐标系设抛物线的方程为x22py，水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，点(2，2)在抛物线上，44p，p1.x22y，水面下降1 m，即y3，而y3时，x，水面宽为2
11、 m.即若水面下降1 m，水面的宽度为2 m.24.2抛物线的几何性质太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0
12、)x22py(p0)图像性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点原点开口方向向右向左向上向下抛物线的性质特点(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.求抛物线的标准方程
13、与几何性质例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是y4；(2)顶点在原点，通过点(，6)，且以坐标轴为轴思路点拨可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系数法求出标准方程精解详析(1)顶点在原点，准线是y4的抛物线的标准方程可设为x22py(p0)因为准线是y4，所以p8.因此，所求抛物线的标准方程是x216y.(2)若x轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y22px，因为点(，6)在抛物线上，所以(6)22p，解得2p12 ，故所求抛物线的标准方程为y212 x.若y轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为x2y.一点通利用待定系数法求
14、抛物线的标准方程，往往与抛物线的几何性质相联系，这就要求对抛物线的标准方程的四种形式及其对应的性质的比较、辨析、应用做到熟练，特别是开口方向、焦点坐标、准线方程等1已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解：双曲线1的右顶点坐标是(2，0)，2，且抛物线的焦点在x轴的正半轴上所求抛物线的标准方程为y28x，准线方程为x2.2抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x24y236的短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程解：椭圆的方程可化为1，其短轴在x轴上，抛物线的对称轴为x轴，设抛物线的方程为y22px或y22px(p
15、0)抛物线的焦点到顶点的距离为3，即3，p6，抛物线的标准方程为y212x或y212x，其准线方程分别为x3和x3.抛物线几何性质的应用例2已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若AOB的面积为4，求此抛物线的标准方程思路点拨设出抛物线的方程，表示出AOB的面积，利用面积列方程求解精解详析由题意，设抛物线方程为y22mx(m0)，焦点F(，0)，直线l：x，A、B两点坐标为(，m)、(，m)AB2|m|.AOB的面积为4，|2|m|4，m2，抛物线方程为y24x.一点通抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程
16、中又容易忽视这些隐含条件例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而通过面积求出m.3抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为_解析：据题意知，FPM为等边三角形，PFPMFM，PM抛物线的准线设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，PMFM，得1，得m2，等边三角形的边长为4，其面积为4.答案：44(江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.解析：由x22py(p0)得焦点F，准线l为y，所以可求得抛物线的准线与双曲线1的交点A，B，所以A
17、B ，则AFAB ，所以sin ，即，解得p6.答案：65已知A、B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点，若OAOB，且ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程解：ABO是等腰三角形，A、B关于x轴对称，AB垂直于x轴设直线AB方程为xa，则y22pa.可设A(a，)，B(a，)而焦点F为kFA，kOB.kFAkOB1，1.ap.AB的方程为xp.抛物线中的最值问题例3求抛物线y24x上到焦点F的距离与到点A(3,2)的距离之和最小的点的坐标，并求出这个最小值思路点拨可以设抛物线上的点为P，要求PAPF的最小值，可利用抛物线定义，把PF转化为P到准线的距离求解精解详析设P是
18、抛物线y24x上的任意一点，如图，过P作抛物线的准线l的垂线，垂足为D，连结PF，由抛物线定义可知PFPD.PAPFPAPD.过A作准线l的垂线，交抛物线于P，垂足为Q，显然，直线段AQ的长小于折线段APD的长，因而P点即为所求的AQ与抛物线的交点直线AQ平行于x轴，且过A(3,2)，直线AQ的方程为y2.代入y24x，得x1.P(1,2)与F、A的距离之和最小，最小距离为4.一点通与抛物线有关的最值问题，常利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，利用几何法求解；另外，也可以根据条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧6已知抛物线y22x的焦点
19、F，点P是抛物线上的动点，求点P到点A的距离与点P到直线x的距离d之和的最小值解：由于直线x即抛物线的准线，故PBdPBPFBF.当且仅当B、P、F共线时取等号，而BF ，PBd的最小值为.7已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3, 2)或(3，2)(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联
20、立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.1涉及抛物线的焦点弦问题时，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离2若A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p0)的过焦点F的一条直线与抛物线的两个交点，则ABx1x2p，x1x2，y1y2p2.对应课时跟踪训练(十三) 1抛物线y28x的焦点到准线的距离是
21、_解析：这里p4，焦点(2,0)，准线x2，焦点到准线的距离是4.答案：42抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是_解析：抛物线y22x的焦点为F，准线方程为x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AFBFx1x25，解得x1x24，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.答案：23过点(0,1)且与抛物线y24x只有一个公共点的直线有_条解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为x0，满足与抛物线y24x只有一个公共点当斜率存在时，设直线方程为ykx1，再与y24x联立整理得k2x2(2k4)x10，当k0时，方程是一次方程，
22、有一个解，满足一个交点；当k0时，由0可得k值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有3条答案：34已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为_解析：设抛物线方程为y22px，则焦点坐标为(，0)，将x代入y22px可得y2p2，|AB|12，即2p12，故p6.点P在准线上，到AB的距离为p6，所以PAB的面积为61236.答案：365已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则FMMN_.解析：如图所示，过点M作MM垂直于准线y1于点M，则由抛物线的定
23、义知MMFM，所以，由于MMNFOA，则，则MMMN1，即FMMN1.答案：16已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值解：法一：设抛物线方程为y22px(p0)，则焦点F(，0)，由题设可得解得或故所求的抛物线方程为y28x，m的值为2.法二：设抛物线方程为y22px(p0)，焦点F(，0)，准线方程x，根据抛物线定义，点M到焦点的距离等于M到准线方程的距离，则35，p4.因此抛物线方程为y28x.又点M(3，m)在抛物线上，于是m224，m2.7已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x2y10截得的弦长为，求此抛物
24、线方程解：设抛物线方程为：x2ay(a0)，由方程组消去y得：2x2axa0，直线与抛物线有两个交点，(a)242a0，即a8.设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，弦长为|AB| .|AB|， ，即a28a480，解得a4或a12，所求抛物线方程为：x24y或x212y.8已知抛物线y22x.(1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(2)在抛物线上求一点P，使P到直线xy30的距离最短，并求出距离的最小值解：(1)设抛物线上任一点P的坐标为(x，y)，则|PA|22y222x2.x0，且在此区间上函数单调递增，故当x0时
25、，|PA|min，故距点A最近的点的坐标为(0,0)(2)法一：设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则P到直线xy30的距离为d.当y01时，dmin.点P的坐标为.法二：设与直线xy30平行的抛物线的切线为xyt0，与y22x联立，消去x，得y22y2t0，由0，得t，此时y1，x，点P坐标为，两平行线间的距离就是点P到直线xy30的最小距离，即dmin2.4抛_物_线24.1抛物线的标准方程平面直角坐标系内，有以下点和直线A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)；l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？提示
26、：y212x.问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y212x.问题3：到定点C和定直线l3或到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程呢？提示：x212y，x212y.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向y22px(p0)x向右y22px(p0)x向左x22py(p0)y向上x22py(p0)y向下1平面内到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹是抛物线定点F不在定直线l上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的垂线2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上由抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程例1已知抛物线的方程yax2(a0)，
27、求它的焦点坐标和准线方程思路点拨由题意yax2，(a0)，可化为x2y，再依据抛物线的标准方程得焦点和准线方程精解详析将抛物线方程化为标准方程x2y(a0)，显然抛物线焦点在y轴上，(1)当a0时，p，焦点坐标F，准线方程y.(2)当a0)，其准线方程为x，则3，p6.抛物线标准方程为y212x.(2)设抛物线标准方程为y22px(p0)焦点坐标为，p5.抛物线标准方程为y210x.一点通待定系数法求抛物线标准方程的步骤：(1)依据题目中的条件确定抛物线的标准形式；(定形)(2)充分利用数形结合确定抛物线的开口方向；(定位)(3)利用题中所给数据确定p.(定量)3以双曲线1的右顶点为焦点的抛物
28、线的标准方程为_解析：双曲线1的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点坐标为(4,0)，所以抛物线的标准方程为y216x.答案：y216x4根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解：(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(2)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(
29、0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.抛物线方程的应用例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，求抛物线的标准方程和焦点的位置思路点拨建立直角坐标系，设出标准方程为y22px(p0)，然后根据条件，找出点的坐标，求出p.精解详析如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程为y22px(
30、p0)由已知条件可知点A(40,30)，代入方程，得p.所求抛物线的标准方程是y2x，焦点坐标是.一点通将实际问题转化为数学问题，需要建立适当的直角坐标系，再根据条件确定抛物线的标准方程的类型这里，直角坐标系的建立非常重要，同学们要认真观察实物的形状，根据实物形状“适当”建立5若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解：由抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离和它到准线的距离相等，及抛物线方程y22px(p0)，可知其准线为x，即910，则p2，所以抛物线为y24x，当x9时，y236，得y6，所以点M的坐标为(9,6)或(9，6)6已知动圆M与直线
31、y2相切，且与定圆C：x2(y3)21外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，则由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，其方程为x212y.7一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，
32、即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21.a应取13.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)对应课时跟踪训练(十二) 1抛物线x28y的焦点坐标是_解析：由抛物线方程x28y知，抛物线焦点在y轴上，由2p8，得2，所以焦点坐标为(0,2)答案：(0,2)2已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上的点P(3，m)到焦点的距离为5，则抛
33、物线方程为_解析：因为抛物线顶点在原点、焦点在x轴上，且过p(3，m)，可设抛物线方程为y22px(p0)，由抛物线的定义可知，35.p4.抛物线方程为y28x.答案：y28x3若抛物线y22px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为_解析：椭圆1的右焦点为(2,0)，由2，得p4.答案：44抛物线x2ay的准线方程是y2，则实数a的值是_解析：由条件知，a0，且2，a8.答案：85双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为_解析：y24x的焦点为(1,0)，则c1，2，a，即ma2，nc2a2，mn.答案：6根据下列条件，分别求抛物线的标准方程：(1)
34、抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线交于点A，AF5.解：(1)双曲线方程化为1，左顶点为(3,0)，由题意设抛物线方程为y22px(p0)，且3，p6，方程为y212x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义，得5AF.又(3)22pm，p1或p9，故所求抛物线方程为y22x或y218x.7设抛物线y2mx(m0)的准线与直线x1的距离为3，求抛物线的方程解：当m0时，由2pm，得，这时抛物线的准线方程是x.抛物线的准线与直线x1的距离为3，13，解得m8，这时抛物线的方程是y28x.
35、当m0时，13，解得m16.这时抛物线的方程是y216x.综上，所求抛物线方程为y28x或y216x.8一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2 m时，水宽4 m，若水面下降1 m，求水的宽度解：如图建立直角坐标系设抛物线的方程为x22py，水面离拱顶2 m时，水面宽4 m，点(2，2)在抛物线上，44p，p1.x22y，水面下降1 m，即y3，而y3时，x，水面宽为2 m.即若水面下降1 m，水面的宽度为2 m.24.2抛物线的几何性质太阳能是最清洁的能源，太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子太阳能灶接受面是抛物线的一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上
36、，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个问题2：抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？提示：没有问题3：抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，双曲线有二个顶点，抛物线只有一个顶点抛物线的简单几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点原点开口方向向右向左向上向下抛物线的性质特点(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.(4)抛物线的焦点在对称轴上，准线垂直于对称轴，焦点到准线的距离为p，它是一个不变量，不随抛物线位置的变化而变化，焦点与准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为.求抛物线的标准方程与几何性质例1求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是y4；(2)顶点在原点，通过点(，6)，且以坐标轴为轴思路点拨可先根据条件确定抛物线的焦点位置，从而设出抛物线的标准方程，再利用待定系