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1、配餐作业(五十六)双曲线(时间：40分钟)一、选择题1已知双曲线C的渐近线方程为y2x，且经过点(2,2)，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析由题意，设双曲线C的方程为x2(0)，因为双曲线C过点(2,2)，则22，解得3，所以双曲线C的方程为x23，即1。故选A。答案A2(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(0,3) D(0，)解析由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n3。故选A。答案A3若双曲线x21的一条渐近线的
2、倾斜角，则m的取值范围是()A(3,0) B(，0)C(0,3) D.解析由题意可知m0，b0)的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线的一个交点是P，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是()A. B.C2 D5解析不妨设点P位于第一象限，F1为左焦点，|PF2|md，|PF1|m，|F1F2|md，其中md0，则有(md)2m2(md)2，解得m4d，故双曲线的离心率e5。故选D。答案D5(2016石家庄二模)已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为()A. B1C2 D4解析由题意得，双曲线的
3、两条渐近线方程为yx，设A(x1，x1)，B(x2，x2)，则OAOB，AB的中点为，又因为AB的中点在双曲线上，所以222，化简得x1x22，所以SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x2|2，故选C。答案C6(2016茂名二模)已知双曲线：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，直线y(xc)与双曲线的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则双曲线的离心率为()A. B.C2 D.1解析直线y(xc)过左焦点F1，且其倾斜角为60，MF1F260，MF2F130。F1MF290，即F1MF2M。|MF1|F1F2|c，|MF2|F1F2|sin60c，由双曲线的定义有：|
4、MF2|MF1|cc2a，离心率e1，故选D。答案D二、填空题7若双曲线1的离心率为，则m_。解析由a216，b2m，得c216m，所以e，即m1。答案18已知双曲线1(a0，b0)的两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4,3)。则此双曲线的方程为_。解析由题意，c5，a2b2c225。又双曲线的渐近线为yx，。则由解得a3，b4，双曲线方程为1。答案19(2016浙江高考)设双曲线x21的左、右焦点分别为F1，F2。若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_。解析由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况
5、：当PF2x轴时，|PF1|PF2|有最大值8；当P为直角时，|PF1|PF2|有最小值2。因为F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|PF2|的取值范围为(2，8)。答案(2，8)10(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)。若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_。解析如图，由题意不妨设|AB|3，则|BC|2，设AB，CD的中点分别为M，N，则在RtBMN中，|MN|2c2，故|BN| 。由双曲线的定义可得2a|BN|BM|1，而2c|MN|2，所以双曲线的离心率e2。答案2三、解答题11已知双曲线的中心在原点，焦点
6、F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)。(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积。解析(1)离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线的方程为x2y26。(2)证明：点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上。(3)SF1MF24|m|6。答案(1)x2y26(2)见解析(3
7、)612已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2。(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B；在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若，求四边形ANBM的面积。解析(1)设椭圆方程为1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为1，且满足解方程组得椭圆的方程为1，双曲线的方程为1。(2)由(1)得A(5,0)，B(5,0)，|AB|10，设M(x0，y0)，则由得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x05,2y0)。将M、P坐标分别代入椭圆和双曲线方程，得消去y0，得2x5x0250。
8、解得x0或x05(舍去)。y0。由此可得M，P(10,3)。当P为(10,3)时，直线PA的方程是y(x5)，即y(x5)，代入1，得2x215x250。x或5(舍去)，xN，xNxM，MNx轴。S四边形ANBM2SAMB21015。答案(1)椭圆方程为1，双曲线方程为1(2)15(时间：20分钟)1如图，双曲线的中心在坐标原点O，A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D。若双曲线的离心率为2，则BDF的余弦值是()A. B.C. D.解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由e2知，c2a，又c2a2b2，故ba，所以A(0，a)
9、、C(0，a)、B(a,0)、F(2a,0)，则(a，a)，(2a，a)，结合题中的图可知，cosBDFcos，。故选C。答案C2已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形。若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则e1e2的取值范围是()A(0，) B.C. D.解析设椭圆与双曲线的半焦距为c，|PF1|r1，|PF2|r2，由题意知r110，r22c，且r1r2，2c10，即cr1，即2c2c10，即c，于是c5，1。故e1e2的取值范围是。故选B。答案B3(2016漳州八
10、校联考)已知椭圆C1：1(a1b10)与双曲线C2：1(a20，b20)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2，则4ee的最小值为()A. B4C. D9解析由题意设焦距为2c，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a2，由椭圆定义知|PF1|PF2|2a1，又PF1PF2，|PF1|2|PF2|24c2，22，得|PF1|2|PF2|22a2a，将代入，得aa2c2，4ee2，当且仅当，即a2a时，取等号。故选C。答案C4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_。解析由定义，知|PF1|PF2|2a。又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a。在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2。要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为。答案7