《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2_120171109383.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学案新人教B版选修2_120171109383.doc（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.5直线与圆锥曲线1能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题和实际问题2掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断，弦长问题，中点弦及相关问题1直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断设直线l的方程为AxByC0，圆锥曲线方程为f(x，y)0.由消元，如消去y后得ax2bxc0.若a0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)若a0，设b24ac.()_0时，直线和圆锥曲
2、线相交于不同两点；()_0时，直线和圆锥曲线相切于一点；()_0时，直线和圆锥曲线没有公共点如果直线和圆锥曲线只有一个公共点，那么它们不一定相切如，当直线和双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时，它们只有一个公共点，它们是相交的位置关系，而不是相切【做一做11】过原点的直线l与双曲线1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是()A BC D【做一做12】直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相交 B相切 C相离 D不确定2直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|_或|P1P2|_.(2)当斜率k不
3、存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)【做一做2】已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若D(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_1解决直线与圆锥曲线位置关系问题中有哪些常用的数学思想方法？剖析：(1)方程的思想笛卡儿在创立解析几何时，他大胆设想：所有的数学问题都可以化为方程(组)问题，然后通过解方程(组)得到数学问题的解决，因此，直线和圆锥曲线位置关系的判定，直线和圆锥曲线的交点，直线和圆锥曲线相关的弦长等，都需要方程(组)来解决(2)数形结合的思想由于几何研究的对象是图形，而图形的直观会帮助我们发现问题，启发我们的思路，得到解
4、决问题的有效方法，所以在解决本类题目时，最好先画出草图，注意观察、分析图形的特征，将形与数结合起来(3)设而不求与整体代入的技巧与方法解析几何的运算具有明确的几何意义，是带有几何特色的代数计算，在处理圆锥曲线中与“中点弦”有关问题时，常用中点公式、根与系数的关系整体代入使问题得到解决2在直线与圆锥曲线的位置关系中，常见问题的处理方法有哪些？剖析：(1)在解析几何中，直线与曲线的位置关系可以转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论，但直线与曲线只有一个交点中须除去两种情况，此直线才是曲线的切线：一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行(2)运用圆锥曲线弦长公式时，注意结合中点坐标
5、公式和根与系数的关系求解题型一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】已知曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值分析：(1)联立方程组得到(1k2)x22kx20，再由即可求得k的取值范围(2)由(1)可得x1x2和x1x2，再由面积公式即可得到反思：一般地，在讨论直线和圆锥曲线位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程如果是直线与圆或椭圆，则无需讨论二次项系数是否为零(一定不为零)，直接考虑的情况即可；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数
6、等于零和不等于零两种情况，这是要特别注意的问题另外注意直线斜率不存在时的情形题型二 点关于直线对称的问题【例2】设椭圆C的方程为1，试确定m的范围，使C上的不同两点A，B关于直线y4xm对称分析：利用对称性，设AB的中点为C(x0，y0)，则A(x0s，y0t)，B(x0s，y0t)再利用点A，B在椭圆上，寻找中点坐标x0，y0的关系后求解反思：(1)解决点关于直线对称，主要利用“斜率之积为1”，“点与对称点的中点在对称轴上”两个条件(2)本题中，求取值范围是利用了中点C在椭圆内得到的不等式来解的题型三 易错题型【例3】已知双曲线x21，过点A(1,1)能否作直线l，使其与已知双曲线交于P，Q
7、两点，且A是线段PQ的中点，这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由错解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入双曲线方程，得得，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为A(1,1)为PQ的中点，所以直线l的斜率k2.所以满足条件的直线存在，其方程为y2x1.错因分析：事实上，不存在这样的直线，由得2x24x30，80，错解中忽略了0这一条件1抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于()A B2 C D152直线y2k与曲线9k2x2y218k2|x|(kR，k0)的公共点的个数是()A1 B2 C3 D43抛物线y24x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的
8、直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3 C4 D84如图所示，过点P(0,2)的直线和抛物线y28x交于A，B两点，若线段AB的中点M在直线x2上，则弦AB的长为_5已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1,3)，求双曲线C的离心率答案：基础知识梳理1(2)【做一做11】A设l：ykx，代入1中，得x2x21，即x210，由0知，k.【做一做12】A由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交2(1)【做一做2】y24x设抛物线方程为y2ax，则由得x2ax
9、0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)由x1x2a，又2，a4，即y24x.典型例题领悟【例1】解：(1)联立方程组消去y，得(1k2)x22kx20，由得k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得x1x2，x1x2.又l过点D(0，1)，当l与左右两支相交时，SOABSOADSOBD|x1|x2|x1x2|，同理，当l与其中一支相交时，SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即28，k0或k.【例2】解：设椭圆上两点A(x0s，y0t)，B(x0s，y0t)，AB的中点为C(x0，y0)点A，B关于直线y4xm对称，kAB.又得，y
10、03x0.而点C在直线y4xm上，点C在椭圆1内，1，m.【例3】正解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，代入双曲线方程得，得，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，因为A(1,1)为PQ的中点，所以直线的斜率为k2.所以直线方程为y2x1，再把直线与双曲线联立，即得2x24x30，上式中80，不符合题意，所以这样的直线不存在随堂练习巩固1A2D由题意联立方程组消去y得9x218|x|40，解得|x|10，故x有4个解，即直线与曲线有4个交点3C由抛物线的定义知AFAK，又KAF60，AFK是正三角形联立方程组消去y得3x210x30，解得x3或x.由题意得A(3,2)，所以A
11、KF的边长为4，面积为424.42设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点M，将y8x1和y8x2相减得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，kPMkAB，kAB.令y1y22b，则得b22b80，b4或b2，于是点M的坐标为(2,4)或(2，2)M(2,4)在抛物线上，舍去，M的坐标是(2，2)从而kAB2，AB的方程为y2x2，将其代入抛物线的方程得x24x10，|AB|2.5分析：由题意可知，直线的斜率为1，且M(1,3)在直线上，即可求出直线l的方程，再联立l与C的方程，得到x1x2，又因为M为BD的中点，所以1，从而得到b23a2，再由c，即可求出离心率解：由题设知，l的方程为yx2.代入C的方程，并化简，得(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2.由M(1,3)为BD的中点知1，故1，即b23a2，故c2a，所以双曲线C的离心率e2.5