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1、2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.已知=(,)，=(-2,y),若，则y的值为( )A. B.-2 C. D.2解析：，(-2)+y=0,解得y=2.答案：D2.向量a=9,b=12,则a+b的最大值和最小值分别为_.解析：由|a|-|b|a+b|a|+|b|可得结果.答案：21和33.(2006高考天津卷，理12)设向量a与b的夹角为，且a=(3,3),2b-a=(-1,1)，则cos=_.解析：设b=(x,y)，则2b-a=(2x,2y)-(3,3)=(-1,1)，b=(1,2).cos=.答案：4.已知向量a与b同向，b=(1,2),a
2、b=10.(1)求向量a的坐标；(2)若c=(2,-1)，求(bc)a.解：(1)向量a与b同向，b=(1,2),a=b=(,2).又ab=10，有+4=10.解得=20.符合向量a与b同向的条件.a=(2,4).(2)bc=12+2(-1)=0,(bc)a=0.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知平面上直线l的方向向量e=()，点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O1、A1，则=e，其中等于( )A. B. C.2 D.-2解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定义知=|cose，=-=-2.方法二：利用数形结合的思想，作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反.排除A
3、、C，检验B、D可知D正确.答案：D2.(2006高考江苏卷，理6)已知两点M(-2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足+=0，则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=4x D.y2=-4x解析：=(4,0),=(x-2,y)=4(x-2).由已知有+4(x+2)=0，整理得y2=-8x.答案：B3.A、B、C、D四点的坐标依次是(-1，0)、(0，2)、(4，3)、(3，1)，则四边形ABCD为( )A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形解析：=(1,2),=(1,2),.又线段AB与线段DC无公共点，ABDC且|AB|=|DC|
4、.四边形ABCD为平行四边形.又|AB|=，|BC|=，|AB|DC|.平行四边形ABCD不是菱形也不是正方形.又=4+2=60，AB与BC不垂直.平行四边形ABCD不是矩形.答案：D4.已知a=,b=(-2,3)且ab，则a的坐标为_.解析：设a=(x,y)，则x2+y2=52.由ab得-2x+3y=0.由以上两个条件得 答案：(6，4)或(-6，-4)5.已知A、B、C、D四点的坐标分别为A(1,0)、B(4,3)、C(2,4)、D(m,n).当m、n满足什么条件时，四边形ABCD分别是平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)?解：由条件知=(3,3),=(-
5、2,1),AD=(m-1,n),=(2-m,4-n).(1)若四边形ABCD为平行四边形，则，(3,3)=(2-m,4-n),解得m=-1,n=1.当m=-1,n=1时,四边形ABCD为平行四边形.(2)当m=-1,n=1时，=(3,3),=(-2,1).则|=,|=,|.因此，使四边形ABCD为菱形的m、n不存在.(3)当m=-1,n=1时，=(3,3)(-2,1)=-30，即AB、CD不垂直.因此使四边形ABCD为距形的m、n不存在.(4)由(2)、(3)知，使四边形ABCD为正方形的m、n不存在.(5)若四边形ABCD为梯形，则=或=，其中为实数，且0,1.所以(0,1)或(0,1).整
6、理得m、n的取值条件为n=m+2(m2,m-1)或n=(m1,m-1).30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.若向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180，且b=，则b等于( )A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3)解析：方法一：设b=(-1,2)，且0，有(-)2+(2)2=()2b=(-3，6).方法二：由题意可知，向量a,b共线且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共线可知b=-3a.答案：A2.已知平面向量a=(3，1)，b=(x，-3)，且ab，则x等于( )A.3 B.1 C.-1 D.-3解析：由3x+1(-3)=0,得x=1.答案：B3.已
7、知m=(1，0)，n=(1，1)，且m+kn恰好与m垂直，则实数k的值为( )A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对解析：m+kn=(1，0)+k(1，1)=(1+k，k)，m+kn与m垂直，(m+kn)m=0，即(1+k，k)(1，0)=0.(1+k)1+k0=0，得k=-1.答案：B4.设m、n是两个非零向量，且m=(x1，y1)，n=(x2，y2)，则以下等式中与mn等价的个数有( )mn=0 x1x2=-y1y2 m+n=m-n m+B=A.1 B.2 C.3 D.4解析：由两非零向量垂直的条件可知正确，由模的计算公式与向量垂直的条件可知也正确.答案：D5.(2006高考湖南卷
8、，理5)已知a=2b0,且关于x的方程x2+ax+ab=0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )A.0, B., C., D.,解析：方程x2+|a|x+ab=0有实根可推出|a|2-4ab0.设a与b的夹角为，则cos=，,.答案：B6.已知向量a和b的夹角为120，且a=2，b=5，则(2a-b)a=_.解析：(2a-b)a=2a2-ba=222-52cos120=8+52=13.答案：137.在ABC中，A=90，=(k,1),=(2,3)，则k的值是_.解析：A=90，.=2k+3=0.k=-.答案：-8.设两向量e1、e2满足e1=2，e2=1，e1、e2的夹角为60，若向量2te
9、1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.解：=4，=1，e1e2=21cos60，(2te1+7e2)(e1+te2)=2t+(2t2+7)e1e2+7t=2t2+15t+7.2t2+15t+70.-7t.设2te1+7e2=(e1+te2)(0)，则2t=，且7=t，2t2=7.t=，=.t=时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为，故t的取值范围是(-7，)(，).9.平面内有向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)，点X为直线OP上的一动点.(1)当取最小值时，求OX的坐标；(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cosAXB的值.解：(1)设=(x,y)，因
10、为点X在直线OP上，所以向量与共线.又=(2,1)，所以x1-y2=0,x=2y.所以=(2y,y).又且=(1,7)，所以=(1-2y,7-y).同理，=(5-2y,1-y).于是有=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5(y-2)2-8.所以当y=2时，=5(y-2)2-8有最小值-8，此时=(4,2).(2)当=(4,2)，即y=2时，有=(-3,5),=(1,-1),|=,|=,=-31+5(-1)=-8.所以cosAXB=.10.如图2-4-3所示，以原点和A(5，2)为顶点作等腰直角三角形ABC，使B=90，求点B和向量的坐标.图2-4-3解：设B点坐标(x，y)，则=
11、(x，y)，=(x-5，y-2),x(x-5)+y(y-2)=0,即x2+y2-5x-2y=0.又|=|，x2+y2=(x-5)2+(y-2)2，即10x+4y=29.由或B点坐标为(，-)或(，)，=(-，-)或(-，).11.平面内三点A、B、C在一条直线上，=(-2,m)，=(n,1),=(5,-1),且，求实数m、n的值.解析：因为A、B、C三点共线，所以=.因为=(7,-1-m)，=(n+2,1-m),所以(7,-1-m)=(n+2,1-m),即所以mn-5m+n+9=0. 由=0，得m-2n=0. 由得m=6,n=3或m=3,n=.快乐时光偶像与起床 小明总是睡懒觉，有一天，小明妈妈批评他说：“你看隔壁小华每天天还没亮就起床了，你就不能早起一点？” 小明理直气壮地回答：“妈妈！我跟他不一样，人家小华崇拜的偶像是黎明！我崇拜的偶像是作家卧龙生.”6