《课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案理20171014225.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课标通用2018年高考数学一轮复习第九章解析几何9.7抛物线学案理20171014225.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、9.7抛物线考纲展示考点1抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_答案：距离相等焦点准线教材习题改编动圆过点(1,0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案：y24x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.抛物线的定义：关注应用过抛物线y28x的焦点且倾斜角为45的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|_.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45的直线方程为yx2，将y
2、x2代入y28x，得x212x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x212，x1x24，所以|AB|16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45的直线方程为yx2，将yx2代入y28x，得x212x40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x212.由抛物线定义知，|AB|x1x2416.考情聚焦与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等主要有以下几个命题角度：角度一到焦点与定点距离之和最小问题典题12017江西赣州模拟若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|MA|取得最小值的点M的坐标为()A(0,0) B.C(1，
3、) D(2,2)答案D解析过点M作左准线的垂线，垂足是N，则|MF|MA|MN|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|MA|取得最小值，此时M的坐标为(2,2)角度二到点与准线的距离之和最小问题典题22017河北邢台摸底已知M是抛物线x24y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x1)2(y5)21上，则|MA|MF|的最小值是_答案5解析依题意，由点M向抛物线x24y的准线l：y1引垂线，垂足为M1，则有|MA|MF|MA|MM1|，则|MA|MM1|的最小值等于圆心C(1,5)到y1的距离再减去圆C的半径，即等于615，因此|MA|MF|的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题典题3已知直
4、线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A. B2 C. D3答案B解析由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.角度四焦点弦中距离之和最小问题典题4已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_答案2解析由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD
5、|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.点石成金与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决考点2抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：_；(2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：_；(3)顶点在坐标原点，焦点在y轴
6、正半轴上的抛物线的标准方程为：_；(4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：_.答案：(1)y22px(p0)(2)y22px(p0)(3)x22py(p0)(4)x22py(p0)2抛物线的几何性质答案：O(0,0)y0x01(1)教材习题改编若抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_答案：解析：抛物线yax2的标准方程为x2y，2，a.(2)教材习题改编将抛物线C1：x2y绕原点逆时针旋转90，得到抛物线C2，则C2的焦点坐标是_答案：解析：易知抛物线C2的方程为y2x，其焦点坐标为.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号抛物线x22py0的焦点到准线的距离为4，则
7、p_.答案：4解析：抛物线x22py0的标准方程为x22py，依题意知|p|4，所以p4.求抛物线的标准方程：待定系数法抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB的长为4，则该抛物线的标准方程为_答案：y24x解析：依题意设抛物线方程为y22px(p0)，则其焦点坐标为，易得|AB|2p4，所以p2，所以所求抛物线方程为y24x.典题5(1)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为()A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线为x且过点(1,1)，故1，解得p2.所以抛物
8、线的焦点坐标为(1,0)(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1(a0，b0)的离心率为2，2，即4，.则1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即yx.x22py(p0)的焦点坐标为，由题意得2，解得p8.故C2的方程为x216y.点石成金1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p的值即可2利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程3涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思
9、考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线y2x的准线经过椭圆1的左焦点，则实数m的值为_答案：解析：抛物线y2x的准线方程为x，椭圆1的左焦点坐标为(2,0)，由题意知2，所以实数m.考点3焦点弦问题典题6已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴求证：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为xmy，代入y22px，得y22pmyp20.由根与系数的关系，得yAyBp2，即yB.B
10、Cx轴，且点C在准线x上，C，则kOCkOA.直线AC经过原点O.考点4直线与抛物线的位置关系典题7已知A(8,0)，B，C两点分别在y轴上和x轴上运动，并且满足0，(1)求动点P的轨迹方程；(2)是否存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足97，其中Q(1,0)，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解(1)设B(0，b)，C(c,0)，P(x，y)，则(8，b)，(x，yb)，(c，b)，(xc，y)8xb(yb)0，由，得将by代入，得y24x.动点P的轨迹方程为y24x.(2)当直线l的斜率不存在时，x8与抛物线没有交点，不合题意当直线l的斜率存在时，设直线l的斜
11、率为k，则l：yk(x8)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)，由97，得(x11)(x21)y1y297.即x1x2x1x21k2(x18)(x28)97，(1k2)x1x2(18k2)(x1x2)64k296.将yk(x8)代入y24x，得k2x2(416k2)x64k20.直线l与y24x交于不同的两点，(416k2)24k264k20，即k，由根与系数的关系，得x1x2，x1x264.代入式，得64(1k2)(18k2)64k296.整理得k2，k.k，这样的直线l不存在综上，不存在过点A的直线l与动点P的轨迹交于M，N两点，且满足97.点石成金1
12、.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式3涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线C1：yx2，圆C2：x2(y1)21，过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点(1)求点A，B的坐标；(2)求PAB的面积解：(1)由题意知，直线PA的
13、斜率存在，故可设直线PA的方程为yk(xt)由消去y，整理得x24kx4kt0，由于直线PA与抛物线相切，得kt.因此，点A的坐标为(2t，t2)设圆C2的圆心为D(0,1)，点B的坐标为(x0，y0)由题意知，点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|t，直线PA的方程为txyt20.点B到直线PA的距离是d.设PAB的面积为S(t)，则S(t)|AP|d.方法技巧1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离因此，涉及抛物线的
14、焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化3设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下几个结论：(1)x1x2，y1y2p2；(2)弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；(3)；(4)以AF为直径的圆与y轴相切；(5)以弦AB为直径的圆与准线相切易错防范直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式 真题演练集训 12015浙江卷如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B.C. D.
15、答案：A解析：由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知，焦点F(1,0)，作准线l，则l的方程为x1. 点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN， .22016新课标全国卷以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为y22px(p0)，由|AB|4，|
16、DE|2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|OD|，得85，解得p4，故选B.32016四川卷设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A. B. C. D1答案：C解析：设P，易知F，则由|PM|2|MF|，得M.当t0时，直线OM的斜率k0；当t0时，直线OM的斜率k，所以|k|，当且仅当时等号成立，于是直线OM的斜率的最大值为，故选C.42016天津卷设抛物线(t为参数，p0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C，AF与BC相交于点E.若|CF|2|AF|，且
17、ACE的面积为3，则p的值为_答案：解析：抛物线的普通方程为y22px，故F，l：x.由|CF|2|AF|，得|AF|p，不妨设点A(x，y)在第一象限，则x，即xp，所以yp.易知ABEFCE，所以|EF|2|AE|，所以ACF的面积等于AEC的面积的3倍，即SACF9，所以SACF3pp9，解得p.52016浙江卷若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案：9解析：由于抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，设点M的坐标为(x，y)，则x110，所以x9.故M到y轴的距离是9. 课外拓展阅读 对抛物线的标准方程认识不准而致误分析典例抛物线C1：x22py(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.解析抛物线C1：x22py(p0)的焦点坐标为，双曲线y21的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y(x2)，联立消去y，得2x2p2x2p20.设点M的横坐标为a，易知在点M处切线的斜率存在，则在点M处切线的斜率为yxaxa，又因为双曲线y21的渐近线方程为y0，其与切线平行，所以，即ap，代入2x2p2x2p20，得p或p0(舍去)答案D- 14 -