《课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.5三角函数的图象和性质学案理20171.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课标通用2018年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4.5三角函数的图象和性质学案理20171.doc（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、4.5三角函数的图象和性质考纲展示1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2，正切函数在上的性质考点1三角函数的定义域与值域正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).(1)教材习题改编函数yAsin x1(A0)的最大值是3，则它的最小值是_答案：1解析：依题意，得A13，所以A2，所以函数y2sin x1的最小值为121.(2)教材习题改编不等式2cos x1的解集为_答案：解析：不等式2cos x1，即cos x，作出ycos x的图象(图略)，得解集为.求三角函数最值(值域)的两种方法：化为yAsin(x)
2、的形式来求；换元法(1)2013天津卷改编函数f(x)sin在区间上的最小值为_答案： 解析：由x，得2x，所以sin，故函数f(x)sin在区间上的最小值为.(2)已知x，则函数ycos2xcos x1的最小值为_答案：解析：ycos2xcos x12，令tcos x，因为x，所以t，所以当tcos x时，ymin2.典题1(1)函数ylg(2sin x1)的定义域是_答案，kZ解析要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在区间上具有单调性，所以，即T ，又ff，所以x和x均不是f(x)的
3、对称轴，其对称轴应为x，又因为ff，且f(x)在区间上具有单调性，所以f(x)的一个对称中心的横坐标为，故函数f(x)的最小正周期T4.角度二求三角函数的对称轴或对称中心典题4(1)已知0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)的图象的两条相邻的对称轴，则()A. B.C. D.答案A解析2，即1，f(x)sin(x)，fsin1.0，.(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为_答案解析由题意，得3cos3cos3cos0，k，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.角度三三角函数的奇偶性典题5已知函数f(x)sin(x)cos(x)是偶函数，则的值为()A0
4、B. C. D. 答案B解析据已知可得f(x)2sin，若函数为偶函数，则必有k(kZ)，又由于，故有，解得，经代入检验符合题意点石成金函数f(x)Asin(x)的奇偶性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大值或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f(x0)的值进行判断(3)求形如yAsin(x)或yAcos(x)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“x
5、”看作一个整体，然后根据ysin x和ycos x的图象的对称轴或对称中心进行求解.方法技巧1.讨论三角函数的性质，应先把函数式化成yAsin(x)(0)的形式2对于函数ysin(x)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质3函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T，函数ytan(x)的最小正周期为T.4三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式5在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设f(x)Asin(x)，g(x)Acos(x)，xx0是对称
6、轴方程f(x0)A，g(x0)A；(x0,0)是对称中心f(x0)0，g(x0)0.易错防范1.闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2求函数yAsin(x)的单调区间时要注意的符号，尽量化成0时的情况 真题演练集训 12015四川卷下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos BysinCysin 2xcos 2x Dysin xcos x答案：A解析：ycossin 2x，最小正周期T，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；ysincos 2x，最小正周期为，且为偶函数，其图象关于对称，故B不正确；C，D均
7、为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确22016浙江卷设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A与b有关，且与c有关B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关D与b无关，但与c有关答案：B解析：由于f(x)sin2xbsin xcbsin xc.当b0时，f(x)的最小正周期为；当b0时，f(x)的最小正周期为2.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期故选B.32016新课标全国卷已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9 C7 D5答案：B解析：因
8、为x为函数f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，所以(kZ，T为周期)，得T(kZ)又f(x)在上单调，所以T，k.又当k5时，11，f(x)在上不单调；当k4时，9，f(x)在上单调，满足题意，故9，即的最大值为9.42015浙江卷函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_答案：(kZ)解析：f(x)sin2xsin xcos x1sin 2x1sin 2xcos 2xsin， 函数f(x)的最小正周期T.令2k2x2k，kZ，解得kxk(kZ)，故函数f(x)的单调递减区间为(kZ)52015重庆卷已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)
9、求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解：(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x.当02x，即x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减 课外拓展阅读 三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型1yasin2xbsin xc型
10、函数的最值可将yasin2xbsin xc中的sin x看作t，即令tsin x，则yat2btc，这样就转化为二次函数的最值问题但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围另外，yacos2xbcos xc，yasin2xbcos xc等形式的函数的最值都可归为此类典例1设x，求函数y4sin2x12sin x1的最值思路分析解令tsin x，由于x，故t.y4t212t14210，因为当t时，函数单调递减，所以当t，即x时，ymax6；当t1，即x时，ymin9.2yasin2xbsin xcos xccos2x型函数的最值可利用降幂公式将yasi
11、n2xbsin xcos xccos2x整理转化为yAsin 2xBcos 2xC求最值典例2求函数ysin x(cos xsin x)的最大值思路分析解ysin x(cos xsin x)sin xcos xsin2xsin 2x(sin 2xcos 2x)sin.因为0x，所以2x，所以当2x，即x时，ymax.3y型函数的最值此类题目的特点是分子或分母中含有sin x或cos x的一次式的形式，一般可将其化为f(y)sin(x)的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值典例3求函数y的最值思路分析解由y，得ysin xcos x2y，所以sin(x)2y(其中为辅助角)，所以sin(x)，
12、又|sin(x)|1，所以1，21，解得1y1，故ymax1，ymin1.4ya(sin xcos x)bsin xcos xc型函数的最值对于ya(sin xcos x)bsin xcos xc，令sin xcos xt，t， ，因为(sin xcos x)212sin xcos x，所以sin xcos x，则函数就变为yatbc的形式，因此，此类函数的最值也可通过换元转化为二次函数的最值问题对于形如ya(sin xcos x)bsin xcos xc的函数也可采用同样的方法，另外，此类题目也应注意换元前后变量的取值范围要保持相同典例4求函数y(43sin x)(43cos x)的最小值思
13、路分析解y1612(sin xcos x)9sin xcos x，令tsin xcos x，则t，且sin xcos x，所以y1612t9(9t224t23)故当t时，ymin.5通过换元转化为代数函数的最值通过换元的方法将三角函数的最值问题转化为代数函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性等求函数的最值典例5已知x(0，)，求函数y的最大值思路分析解令sin xt(0t1)，则y，当且仅当t时等号成立故ymax.典例6已知x(0，)，求函数ysin x的最小值思路分析令sin xt(0t1)，然后求导，利用函数的单调性求最值解设sin xt(0t1)，则原函数可化为yt，因为y1，所以当0t1时，y0，a1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解- 18 -