《三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题04导数与函数的单调性文20171101123.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三年高考2015_2017高考数学试题分项版解析专题04导数与函数的单调性文20171101123.doc（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、专题04 导数与函数的单调性1.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【考点】 导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间2【2015高考湖南，文8】设函数，则是( )A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A【解析】函数，函数的定义域为（-1，
2、1），函数所以函数是奇函数 ，在（0,1）上 ，所以在(0,1)上单调递增，故选A.【考点定位】利用导数研究函数的性质【名师点睛】利用导数研究函数在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求；(2)确认在(a，b)内的符号；(3)作出结论：时为增函数；时为减函数研究函数性质时，首先要明确函数定义域.3.【2014全国2，文11】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【考点定位】函数的单调性.【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值
3、能否取到认真判断4. 【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：对恒成立,故,即恒成立,即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得故选C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.5.【 2014湖南文9】若，则（ ）A.B.C. D.【答案】C【考点定位】导数 单调性【名师点睛】本题主要考查了利
4、用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.6.【2017课标1，文21】已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）【解析】试题分析：（1）分，分别讨论函数的单调性；（2）分，分别解，从而确定a的取值范围试题解析：（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增若，则由得当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增若，则由得当时，；当时，故在单调递减，在单调递增（2）若，则，所以若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小
5、值为从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时综上，的取值范围为【考点】导数应用【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值7.【2017课标II，文21】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（）在 和单调递减，在单调递增（） .试题解析：（1） 令得 当时，；当时，；当时，所以在 和单调递减，在单调递增(2)
6、 当a1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h(x)= -xex0（x0），因此h(x)在0，+)单调递减，而h(0)=1，故h(x)1，所以f(x)=（x+1）h(x)x+1ax+1当0a1时，设函数g（x）=ex-x-1，g（x）=ex-10（x0），所以g（x）在在0，+)单调递增，而g(0)=0，故exx+1当0x1，取则当时，取 综上，a的取值范围1，+） 【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数
7、，直接把问题转化为函数的最值问题.8.【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论的单调性；（2）当a0时，证明【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析试题解析：（1），当时，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，令 （），则，解得，在单调递增，在单调递减，即，.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用
8、条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.9.【2017天津，文19】设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（）递增区间为，递减区间为.（2）（）在处的导数等于0.（）的取值范围是.【解析】在上恒成立，得，再根据导数求函数的取值范围.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导
9、数等于0.（ii）因为，由，可得.又因为，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，所以，令，解得（舍去），或.因为，故的值域为.所以，的取值范围是.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解
10、题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.10.【2014山东.文20】（本题满分13分)设函数（1） 若，求曲线处的切线方程；（2） 讨论函数的单调性.【答案】（1）.（2）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.【解析】性.其中时，情况较为单一，函数在上单调递增，当时，令，由于，再分，等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知时，此时，可得，又，所以曲线在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，当时，函数在上单调递增，当时，令，由于， 当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减， 当时，设是函数的两个零点，则，由 ，所以时，函数单调递减，时
11、，函数单调递增，时，函数单调递减，综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增.考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是（II）利用分类讨论思想，结合函数零点，确定函数的单调性.本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.11.2016高考新课标文数设函数（I）讨论的单调性；（II）证明当时，；（
12、III）设，证明当时，.【答案】（）当时，单调递增；当时，单调递减；（）见解析；（）见解析试题解析：（）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 4分（）由（）知，在处取得最大值，最大值为，所以当时，故当时，即. 7分（）由题设，设，则令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 9分由（）知，故又，故当时，所以当时，. 12分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明12.【2016高
13、考天津文数】（本小题满分14分）设函数，其中（）求的单调区间；（）若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）递减区间为，递增区间为，.（）详见解析（）详见解析【解析】，当时，当时，.试题解析：（1）解：由，可得，下面分两种情况讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，令，解得或.当变化时，、的变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知且.由题意得，即，进而，又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以.（3）证明：设在区间上的最大值为，
14、表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：当时，由（1） 知在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此， 所以.当时，由（1）和（2） 知，所以在区间上的取值范围为，所以.当时，由（1）和（2）知，所以在区间上的取值范围为，因此，.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数
15、时，可分类讨论求得单调区间2由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到13.【2016高考四川文科】（本小题满分14分）设函数，其中，e=2.718为自然对数的底数.（）讨论f(x)的单调性；（）证明：当x1时，g(x)0；（）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立.【答案】（1）当时，0，单调递增；（2）证明详见解析；（3）.（）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论试题解析：（
16、I） 0，在内单调递减.由=0，有.当时，0，单调递增.（II）令=，则=.当时，0，所以，从而=0.（iii）由（II），当时，0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令=().当时，=.因此在区间单调递增.又因为=0，所以当时，=0，即恒成立.综上，.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值
17、大于0，为此要研究函数的单调性本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围比较新颖，学生不易想到有一定的难度14.【2015高考福建，文22】已知函数()求函数的单调递增区间；（）证明：当时，；（）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有【答案】() ；（）详见解析；（）（II）令，则有当时，所以在上单调递减，故当时，即当时，（III）由（II）知，当时，不存在满足题意当时，对于，有，则，从而不存在满足题意当时，令，则有由得，解得，当时，故在内单调递增从而当时，即，综上，的取值范围是【考点定位】导数的综合应用【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2014年全国卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续19