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1、专题09 平面向量【2017年高考题】1.【2017北京，文7】设m, n为非零向量，则“存在负数，使得m=n”是“mn0”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：1.根据定义，若，那么是的充分不必要 ，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若,若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件，3.命题的等价性，根据
2、互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.2.【2017课标II，文4】设非零向量，满足则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由平方得，即，则，故选A.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘： 3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记，则ABC D【答案】C【考点】 平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙
3、用 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由ABBCAD2，CD3，可求，进而解得4.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a|b,则 .【答案】【解析】试题分析：由a|b可得 【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件
4、求向量坐标一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量(3)三点共线问题A,B,C三点共线等价于与共线.5.【2017北京，文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_【答案】6【考点】1.向量数量积；2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若最大，即向量在方向上的投影 最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果.6.【2017课标3，文13】已知向量，且，则m= .【答案】2
5、【解析】由题意可得：.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘： 7.【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】试题分析：设向量的夹角为，由余弦定理有：，则：，令，则，据此可得：，即的最小值是4，最大值是【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求。8.【2017天津，文14】在ABC中，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为 .【答案】 【考点】1.平面向量基本定理；2.向量数量
6、积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.9.【2017课标1，文13】已知向量a=（1，2），b=（m，1）若向量a+b与a垂直，则m=_【答案】7【解析】试题分析：由题得，因为，所以，解得【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量【名师点睛】如果a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2010.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,的模分别为
7、1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若, 则 . A C BO(第12题) 【答案】3 【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与
8、距离问题.11.【2017江苏，16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，fx取得最大值，为3； 时，fx取得最小值，为.【解析】解：（1）因为，ab， 所以.若，则，与矛盾，故.于是. 又，所以.（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，fx取到最大值3；当，即时，fx取到最小值.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘： 【2016，2015，2014】1. 【2014高考北京文第3题】已知向量，则（ ） A. B. C. D.【答案】A考点：本小题主要考查平面向量的基本
9、运算，属容易题.2. 【2015高考北京，文6】设，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【考点定位】充分必要条件、向量共线.【名师点晴】本题主要考查的是充分必要条件和向量共线，属于容易题解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,故选B.【考点定位】本题考查平面向量的坐标运算,属于容易题.【名师点晴】本题主要
10、考查的是平面向量减法的坐标运算，属于容易题解题时要注意对应坐标分别相减，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是平面向量减法的坐标运算，即若，则4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，则（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D【考点定位】1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的加法运算和数量积的坐标运算，属于较难题解题时要注意运行平行四边形法则的特点，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是平面向量加法的坐标运算和数量积的坐标运算，即若，则，5. 【2014山东.
11、文7】已知向量，.若向量的夹角为，则实数=（ ）（A） （B） （C）0 （D）【答案】考点：平面向量的数量积、模与夹角.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.利用夹角公式，建立m的方程即得.本题属于基础题，注意牢记夹角公式并细心计算.6. 【2015高考陕西，文8】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A B C D【答案】【解析】因为，所以选项正确；当与方向相反时，选项不成立，所以选项错误；向量平方等于向量模的平方，所以选项正确；，所以选项正确，故答案选.【考点定位】1.向量的模；2.数量积.【名师点睛】1.本题考查向量模的运算，采用向量数量积公式.2.向量的平方就
12、是模的平方进行化解求解.本题属于基础题，注意运算的准确性.7. 【2014全国2，文4】设向量满足，则（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A【解析】由已知得，两式相减得，故【考点定位】向量的数量积.【名师点睛】本题主要考查了向量数量积运算，本题属于基础题，解决本题的关健在于掌握向量的模与向量数量积之间的关系，还有就是熟练掌握数量积的运算性质与运算律.8.【2015高考新课标1，文2】已知点，向量，则向量( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【考点定位】向量运算【名师点睛】对向量的坐标运算问题，先将未知向量用已知向量表示出来，再代入已知向量的坐标，即可求出未知向量的坐标，
13、是基础题.9. 【2014全国1，文6】设分别为的三边的中点，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在中，同理，则考点：向量的运算【名师点睛】熟练掌握平面向量的共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.10. 【2014年.浙江卷.文9】设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（ ）A.若确定，则|唯一确定 B.若确定，则|唯一确定 C.若|确定，则唯一确定 D.若|确定，则唯一确定 【答案】B【解析】试题分析：依题意，对任意实数，恒成立，
14、所以恒成立，令，所以，若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值.故选B.考点：平面向量的夹角、模，二次函数的最值，难度中等.【名师点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值的有关性质问题，属于中档题目；11. 【2015高考重庆，文7】已知非零向量满足则的夹角为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【考点定位】向量的数量积运算及向量的夹角.【名师点睛】本题考查向量的数量积运算与向量夹角之间的关系，采用两向量垂直时其数量积为零来进行转化.本题属于基础题，注意运算的准确性.12. 【2014，安徽文10】设为非零向量，两组向量和均由2个和2个排列而成，若所有可能取值中的最小
15、值为，则与的夹角为 （ ）A B C D0【答案】B【解析】试题分析：由题意有以下三种可能：；，已知第种情况原式的值最小，即，解得，即，故选B考点：1向量的数量积运算；2分类讨论思想的应用【名师点睛】本题先要了解相关的排列知识，2个和3个排列所得的结果有几种，需要进行讨论，要注意重复的情况删除.比较两数的大小常用作差法，根据平面向量的平行、垂直的坐标运算性质，表示出需要研究的量的关系.13.【2014上海,文17】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）（A）7（B）5（C）3（D）1【答案】C【考点】向量的数量积及
16、其几何意义【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解14.【2014福建,文10】设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）【答案】【解析】试题分析：由已知得，而所以，选.考点：平面向量的线性运算，相反向量.【名师点睛】本题主要考查向量的加法法则与减法法则及几何意义.解决此类问题时经常出现的错误有：
17、忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆，对此，要注意三角形法则与平行四边形法则适用的条件.15. 【2015高考福建，文7】设，若，则实数的值等于（ ）A B C D【答案】A【考点定位】平面向量数量积【名师点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算以及平面向量基本定理，由已知的坐标计算的坐标，再利用已知条件列方程求参数的值；本题还可以先利用向量运算，即，再引入坐标运算，属于中档题16.【2014湖南文10】在平面直角坐标系中，为原点，,，动点满足,则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为坐标为且,所以动点的轨迹为以为圆心的单位圆,则满足参数方程(为参数且),所以设的
18、坐标为为,则,因为的取值范围为且,所以的取值范围为,故选D.【考点定位】参数方程；圆；三角函数【名师点睛】本题主要考查了圆的参数方程，解决问题的关键是根据所给条件得到对应点C的轨迹，然后得到其参数方程，根据向量的和的坐标运算得到其和的模满足的三角函数式，运用三角函数知识不难得到其最大值.主要运用了转化的思想方法.17. 【2015四川文2】设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)6【答案】B【解析】由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线
19、、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.18. (2014课标全国，文6)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A B C D答案：A解析：由于D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，所以，故选A.名师点睛：本题考查平面向量的加法、减法法则，线段中点的性质，考查转化能力，容易题.19. 【2015新课标2文4】已知,则（
20、 ）A B C D 【答案】C【考点定位】本题主要考查向量数量积的坐标运算.【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则 .20. 【2014辽宁文5】设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A B C D【答案】A【考点定位】1、平面向量的数量积运算；2、向量共线【名师点睛】本题考查平面向量的数量积、共线向量及复合命题的真假. 本题将平面向量、简易逻辑联结词结合在一起综合考查考生的基本数学素养，体现了高考命题“小题综合化”的原则.本题属于基础题，难度不大，关键是
21、要熟练掌握平面向量的基础知识，熟记“真值表”.二、填空题1.【2015高考山东，文13】 过点作圆的两条切线，切点分别为，则= . 【答案】【解析】如图，连接，在直角三角形中，所以，故.【考点定位】1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积.【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、平面向量的数量积及数形结合思想，解答本题的关键，是结合图形特征，灵活地运用“几何方法”得到计算平面向量数量积的“要件”.本题属于小综合题，以突出考查圆、直线与圆的位置关系为主，考查平面向量的数量积的定义、计算方法，同时也考查了数形结合思想，本题的“几何味”较浓.2. 【2014高考陕西版文第13题】设，向量，若，
22、则_.【答案】考点：共线定理；三角恒等变换.【名师点晴】本题主要考查的是平行向量的坐标运算、向量共线定理，三角恒等变换，属于容易题解题时一定要注意角的范围，否则很容易失分解决此题的关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式3.【2014四川，文14】平面向量，（），且与的夹角等于与的夹角，则 .【答案】 2.【解析】试题分析：由题意得：，选D.法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.【名师点睛】本题考查两向量的夹角，涉及到向量的模，
23、向量的数量积等知识，体现了数学问题的综合性，考查学生运算求解能力，综合运用能力.4. 【2015高考浙江，文13】已知，是平面单位向量，且若平面向量满足，则 【答案】【解析】由题可知，不妨，设，则，所以，所以.【考点定位】1.平面向量数量积运算；2.向量的模.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量的模的计算.根据条件，设定的坐标形式，利用向量的数量积的坐标表示得到的坐标，进而确定其模.本题属于容易题，主要考查学生基本的运算能力.5. 【2014高考重庆文第12题】已知向量_.【答案】10考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量的模；3、向量的数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的
24、坐标运算，向量的模，向量的数量积，本题属于基础题，注意计算的准确性.6. 【2015高考安徽，文15】是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）为单位向量；为单位向量；。【答案】【解析】等边三角形ABC的边长为2,22,故正确； ，故错误，正确；由于夹角为，故错误；又，故正确 因此，正确的编号是【考点定位】本题主要考查平面向量的基本概念和基本性质的应用.【名师点睛】熟练掌握平面向量的单位向量、共线（平行）、垂直、平面向量的加法等基本概念和基本性质是解决本题的关键之所在，同时本题考查了考生的综合分析问题的能力以及数形结合的能力.7. 【2014天津，
25、文13】已知菱形的边长为，点，分别在边、上， ，.若，则的值为_.【答案】2【解析】试题分析：ox考点：向量坐标表示【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量坐标运算解题，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等关系，列方程组，解出未知数的值.向量问题考查有两种，一是借助向量的加法、减法、数乘、数量积运算，多考查向量的夹角、向量的模、数量积，另一种是考查向量的坐标运算.8. 【2015高考天津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知, 点E和点F分别在线段BC和CD上,且 则的值为 【答案】 【解析】在等腰梯形ABCD中,
26、由,得, ,所以.【考点定位】平面向量的数量积.【名师点睛】高考对平面向量数量积的考查主要是向量的模,夹角的运算及平行与垂直的判断与应用,在利用数量积的定义进行计算时,要善于将相关向量分解为图形中模与夹角已知的向量进行运算,运算时一定要注意向量的方向,搞清两向量的夹角.9. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷12】若向量，则_.【答案】考点：平面向量的数量积，向量的模的求法，容易题.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算和两点距离公式，扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力.其解题的关键是正确的计算平面向量
27、的数量积和向量的模.10. 【2015高考湖北，文11】.已知向量，则_【答案】.【解析】因为向量，所以，即，所以，即，故应填.【考点定位】本题考查向量的数量积的基本运算，属基础题.【名师点睛】将向量的加法运算法则（平行四边形法则和三角形法则）和向量的数量积的定义运算联系在一起，体现数学知识间的内在联系，渗透方程思想在解题中的应用，能较好的考查学生基础知识的识记能力和灵活运用能力.11. 【2014上海,文14】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【考点】向量的坐标运算【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向
28、量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求解三、解答题1. 【2014高考陕西版文第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1） 若，求；（2）用表示，并求的最大值.【答案】（1）；（2），1.【解析】试题分析：（1）由，且，即可求出点的坐标，继而求出的值；（2）因为，所以，即，两式相减得：令，点在三边围成的区域（含边界）上，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.试题解析：（1），又（2）即两式相减得：令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.考点：平面向量的线性运算；线性规划.【名师点晴】本题主要考查的是平面向量的线性运算；线性规划.简单的应用，属于中档题；向量问题与线性规划问题的结合不是太常见，特别是在大题中，解题是要充分理解题意，将向量问题转化为线性规划问题是解题的关键。22