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1、2.2.2 直线方程的几种形式课堂探究探究一 直线方程的点斜式利用点斜式求直线方程的步骤如下：确定直线要经过的定点(x0，y0)明确直线的斜率k由点斜式直接写出直线方程注意：点斜式使用的前提条件是斜率存在；当斜率不存在时，直线没有点斜式方程，其方程为xx0【典型例题1】 求满足下列条件的直线的方程：(1)过点P(4,3)，斜率k2；(2)过点P(2，5)，且与x轴平行；(3)过点P(3，1)，且与y轴平行思路分析：利用直线方程的点斜式及特殊位置的直线表示形式解答解：(1)直线过点P(4,3)，斜率k2，由点斜式得y32(x4)，整理得所求方程为2xy50(2)直线过点P(2，5)，且与x轴平行
2、，则斜率k0，故所求直线方程为y50(x2)，即y5(3)直线与y轴平行，说明斜率不存在，又因为直线过点P(3，1)，所以直线的方程为x3探究二 直线方程的斜截式(1)由直线斜截式方程的推导过程可以看出，在点斜式中若点P(x0，y0)为直线l与y轴的交点，得到的直线方程即为斜截式，因此斜截式为点斜式的特殊情况(2)直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用直线方程的斜截式表示因此，斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线(3)斜截式方程ykxb的特点：左端y的系数恒为1，右端x的系数k和常数项b均有明显的几何意义，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，截距实质上为直线与y轴交点的纵坐标，直线与y轴的交点
3、与原点的距离为|b|【典型例题2】 (1)写出直线斜率为1，在y轴上截距为2的直线的斜截式方程；(2)求过点A(6，4)，斜率为的直线的斜截式方程；(3)已知直线l的方程为2xy10，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标解：(1)易知k1，b2，故直线的斜截式方程为yx2(2)由于直线的斜率k，且过点A(6，4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y4 (x6)，化成斜截式为yx4(3)直线方程2xy10可化为y2x1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k2，在y轴上的截距b1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)探究三 直线方程的两点式(1)当直线斜率不存在(x1x2)或斜率为0(y1y
4、2)时，不能用两点式求出它的方程，若x1x2，y1y2，则直线方程为xx10；若y1y2，x1x2，则直线方程为yy10(2)直线方程的两点式不能表示与坐标轴垂直的两类直线若变形为(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)，此时可表示过任意两点的直线的方程【典型例题3】 (1)求过两点(2，5)和(2,3)的直线的两点式方程；(2)求过两点A(0,0)，B(1,1)的直线方程解：(1)由直线的两点式方程得所求直线的方程为，即(2)由直线的两点式方程得直线AB的方程为，即yx，也就是xy0探究四 直线方程的截距式对直线的截距式方程应注意以下几点：在方程1中，要求a0，b0，即两个截距都不为0，
5、因此它不能表示过坐标原点或平行于x轴、y轴的直线当题目条件中涉及截距相等或互为相反数时，若选用截距式来求解，注意截距都为0，即直线过原点这种情况【典型例题4】 在x，y轴上的截距分别是3,4的直线方程是()A4x3y120 B4x3y120 C4x3y10 D4x3y10解析：根据直线方程的截距式写出直线方程1，化简得4x3y120，故选B答案：B探究五 直线方程的一般式(1)直线的一般式方程与其他四种形式的转化：(2)当直线方程AxByC0的系数A，B，C满足下列条件时，直线AxByC0有如下性质：当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交；当A0，B0，C0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平
6、行，与x轴垂直；当A0，B0，C0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；当A0，B0，C0时，直线与x轴重合；当A0，B0，C0时，直线与y轴重合【典型例题5】 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围思路分析：(1)从截距的定义入手，因方程中含有变量a，故需要对截距进行分类讨论(2)中涉及图象过象限问题，可将方程转化为斜截式，从斜率和截距两方面进行综合考虑解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等所以a2，直线l的方程即3xy0当a2时，截距存在且均不为0，所以a
7、2，即a11，所以a0，直线l的方程为xy20(2)将l的方程化为y(a1)xa2，则或所以a1综上所述，a的取值范围是a1点评 对于与截距有关的问题，一定要注意截距为0的特殊情况，再者对直线方程的一般式往往根据需要将其转化为点斜式、斜截式等形式探究六 易错辨析易错点：忽视截距为零的情况而致误【典型例题6】 求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程错解：设直线方程为1，将x2，y3代入，得1，解得a5故所求的直线方程为xy50错因分析：忘记截距为0的情况，而导致丢解正解1：(1)当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，所以直线l的斜率为k，所以直线l的方程为y，即3x2y0(2)当截距不为0时，可设直线l的方程为1因为直线l过点P(2,3)，所以1，所以a5所以直线l的方程为xy50综上可知，直线l的方程为3x2y0或xy50正解2：由题意知，直线l的斜率存在，且不为0设直线方程为y3k(x2)，且k0令x0，则y32k；令y0，则x2由题意，知32k2，解得k或k1故满足条件的直线方程是y3 (x2)或y3(x2)，即3x2y0或xy504