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1、3.1随机事件及其概率名师导航三点剖析 一、确定性现象和随机现象 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象.在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象.我们再看以下两个简单的试验. 试验1：一个盒中有10个完全相同的白球，搅拌均匀后从中任意摸取一个球. 试验2：一个盒中有10个完全相同的球，其中有5个白的，另外5个是黑色的，搅拌均匀后从中任意摸取一球. 对于试验1，在球没有取出之前，我们就能确定取出的必定是白球.这种试验，根据试验开始时的条件，就可以确定试验的结果，而对试验2来说，在球没有取出以前，我们从试验开始时
2、的条件，不能确定试验的结果是白的还是黑的，也就是说这一试验的结果，出现白球还是出现黑球，在试验之前是无法确定的，这就具有了随机性.于是，试验1在试验之前就能断定它是一个确定的结果，这种试验所对应的现象就称为确定性现象.确定性现象非常广泛，例如：“早晨，太阳必然从东方升起”“边长为a、b的矩形的面积必为ab”“如果a、b都是实数，那么ab=ba”等等.试验2所代表的类型，它有多于一种可能的试验结果，但试验之前不能肯定试验会出现哪一个结果.就一次试验而言，看不出什么规律，这种试验所代表的现象就称为随机现象.在客观世界中随机现象也是极为普遍的，如：“某一地区的年降雨量”“打靶射击时，弹着点到靶心的距
3、离”“校对印刷厂送来的清样，每一万字中有错、漏字10个”等等. 对于试验1或试验2取出白球或取出黑球这一现象，若让其条件实现一次，就进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果都是一个事件.如试验1中,从盒中取出一个白球就是一个事件. 二、必然事件、不可能事件与随机事件 必然事件是指在一定的条件下，必然会发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，肯定不会发生的事件.必然事件与不可能事件反映的就是在一定条件下的确定性现象. 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件,随机事件反映的是随机现象. 必然事件、不可能事件与随机事件统称为事件，一般用大写英文字母A、B、C表示. 例如：异性电核，相互
4、吸引；电阻不为0的导线通电后发热等是必然事件.在常温常压下，石墨能变成金刚石；实心铁球丢入水中，铁球浮起等是不可能事件.掷一枚硬币，国徽朝上；明天进行的某场足球赛的比分为31等是随机事件. 对于随机事件，虽然知道会出现哪些结果，却事先不能确定具体会发生哪一种结果，即无法确定某个随机事件是否发生.但是，如果在相同条件下大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性.概率论正是研究随机现象这种数量规律性的一个数学分支. 这三种事件是根据一件事情在发生前能否预知结果来划分的.必然事件和不可能事件都是在一定的条件下，结果能否发生是可以预知的，而随机事件却是在这一定的条件下，结果能否发生是无
5、法确定的，即可能发生，也可能不发生. 三、随机事件的概率 1随机事件的概率的定义 一般地，如果随机事件A在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A). 随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，它的发生具有不确定性，但随着试验次数的大量增加，随机事件发生的频率逐渐趋于稳定，这个稳定值我们把它叫做概率.概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，要得到它必须进行大量的重复试验，因而，它是对大量重复试验来说存在的一种统计规律.若掷15次硬币，正面出现5次就断定正面出现的概率是，显然是错误的.因为它不是从大量重复的试验统计出来的
6、.对单次试验来说，随机事件的发生是随机的，如某种子的发芽率为80%，随机选取10粒种子检测，若前2粒种子都未发芽，能不能说以下的8粒种子都发芽呢？不能，对任何一粒种子来说它不发芽的可能性都是20%.因而在做题时要重点把握概率的意义. 2随机事件的概率的基本性质 必然事件和不可能事件分别用和来表示.不可能事件和必然事件虽然是两类不同的事件，但它们可以看作是随机事件的两个极端情况.用这种对立又统一的观点去看待它们，有利于认识它们的内在联系.由概率的定义，显然有P（）=1；P（）=0.又如果随机事件A在n次试验中发生了m次，则mn.所以，我们可以得出概率的基本性质. 随机事件的概率有两个基本性质：
7、（1）对于任意一个事件A，都有0P(A)1；（2）必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.问题探究 问题1: 下列有三种说法：概率就是频率；某厂产品的次品率为3%，是指“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定有3件次品；从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明这批灯泡中次品的概率为.我们应该怎样看待这些说法呢？ 探究：我们知道在实验中，某一事件出现的次数与总实验次数的比例叫频率，它是一个确定的值，描述的是已经发生了的事件的特征.但是对于尚未发生的事件，我们只能描述它发生的可能性的大小.不同的人做同一实验的结果不一定相同，即便是同一人在两次相同实验中的结果也可
8、能不同，因而不同的人或同一人做两次相同实验，某一事件发生的频率可以不同，但随着实验次数的增多，在大量重复进行同一实验时，某一事件发生的频率总是接近于某一常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，它实质上是频率的近似值，所以说法是错误的；对第种说法，次品率是3%，只能说明任意抽取一只灯泡进行检测，检测出是次品的可能性或概率是3%，并不一定是抽取100件，其中一定有3件次品.在这100件产品中可能一件次品也没有，可能有2件次品，也可能有3件次品，甚至这100件全是次品，所以说法是错误的;从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品，说明抽样灯泡中次品的频率为，而并非
9、这批灯泡的次品概率.实际上从这一批灯泡中随机抽取15只进行质量检验相当于进行了15次随机试验，而每次试验的结果也是随机的，所以这15次试验的结果也是随机的.“从一批准备出厂的灯泡中随机抽取15只进行质量检测，其中有1只是次品”这只是多个随机结果中的一个，它只能说明这次抽样检验的次品的频率为，而次品的概率则可能比高或比低，并不一定是，所以说法也是错误的. 问题2: 我们知道，当试验次数n很大时，事件A发生的频率的近似值就可以看为事件的概率，那么概率和频率之间有着怎样的区别和联系？ 探究：随机事件的频率，是事件A发生的次数与试验次数的比值，若它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数
10、的不断增多，摆动的幅度将会减小，这时频率所趋近的常数就是事件A发生的概率.因此概率可以看作是频率在理论上的期望值，它从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.而频率是不能脱离具体的n次试验的试验值的，在相同的条件下做两组相同的试验所得的频率就可能不同.从概率的定义可知：频率是概率的近似值，而概率则是频率的稳定值.精题精讲例1试判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件： （1）抛一块石块，下落； （2）在标准大气压下且温度低于0时，冰融化； （3）某人射击一次，中靶； （4）如果ab，那么ab0； （5）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签； （6）某电话机在1
11、分钟内收到2次呼叫； （7）没有水分，种子能发芽； （8）在常温下，焊锡熔化.思路解析（1）中抛一块石块,由于受重力的作用必然下落；（2）中由物理学知识,可知在标准大气压下且温度低于0时，冰不会融化；（3）中某人射击一次可能中靶也可能不中靶；（4）中由不等式的基本性质可知,如果ab，那么ab0；（5）中从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张,这5个数字都有被抽到的可能；（6）中某电话机在1分钟内收到呼叫的次数也是随机的；（7）由生物学知识知没有水分，种子不可能发芽；（8）由物理学知识可知在常温下，焊锡不可能熔化. 答案：由于（1）（4）这两个事件肯定会发生，所以（1）（4）是必然
12、事件；而（3）（5）（6）这三个事件可能发生也可能不发生，所以（3）（5）（6）是随机事件；而（2）（7）（8）这三个事件肯定不会发生，所以（2）（7）（8）是不可能事件.绿色通道判断一个事件是随机事件、必然事件或不可能事件的依据，主要是利用它们的定义.随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.应注意，事件的结果是相应于“一定条件”而言的.要弄清某一随机事件，必须明确何为事件发生的条件，何为在此条件下产生的结果.例2李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年后的考试成绩分布情况：成绩人数90分以上438089分1827079分2606069分905059分62
13、50分以下8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率： （1）90分以上； （2）6069分； （3）60分以上.思路解析利用概率的计算公式求解即可.如果随机事件A在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即P(A).由于参加考试的人数较多，则各组数据的频率可以近似地看作是这一组数据的概率. 答案：利用计算器计算可得（1）0.067. (2)0.140. (3)0.891绿色通道如果随机事件A在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即
14、P(A).例3为了测试贫困地区和发达地区同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分.然后作了统计，下表是统计结果.贫困地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率 （1）利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率； （2）求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率； （3）分析贫富差距为什么会带来人的智力的差别.思路解析首先利用频率的计算公式计算出各组数据的频率，再由此估计出概率，再对
15、数据进行比较和分析.答案：（1）贫困地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率0.530.540.520.510.510.50发达地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550 （2）概率分别为0.5和0.55 （3）经济上的贫困导致该地区生活水平落后，儿童的健康和发育会受到一定的影响；另外经济落后也会使教育事业发展落后，导致智力出现差别.例4检查某工厂产品，其结果如下：抽出产品数（n）5
16、1060150600900120018002400次品数（m）0371952100125178248次品频率 （1）计算表中的次品频率； （2）利用所学知识对表中数据作简要的数学分析.思路解析计算次品出现的频率，再对这些数据进行比较、归纳和分析，与所学内容联系起来.答案：（1）根据频率计算公式，计算出次品出现的频率，如下表：抽出产品数（n）51060150600900120018002400次品数（m）0371952100125178248次品频率00.30.1170.1270.0870.1110.1040.0990.103 （2）从上表中的数字可看出，抽到次品数的多少具有偶然性，但随着抽样的大量进行，抽取的件数逐渐增多，则可发现次品率呈现稳定现象，即在0.1附近. 由此可估计该厂产品的次品率约为0.1绿色通道本题重在考查对概念的理解程度，体现了数学知识的实际应用，突出了数学知识的实践性；与什么样的数学知识联系起来，怎样联系，如何建立数学模型，对学生的数学水平有较高的要求，这是今后数学命题的趋势.5