《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课堂探究新人教B版选修1_1201711012.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课堂探究新人教B版选修1_1201711012.doc（3页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.1.1 椭圆及其标准方程课堂探究探究一 利用椭圆的定义解题椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应首先考虑是否能够利用椭圆的定义求解【典型例题1】 设F1，F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点，PF1PF2，且|PF1|PF2|，求的值思路分析：利用椭圆的定义，结合直角三角形的三边关系即可求出|PF1|，|PF2|的值解：因为PF1PF2，所以F1PF2为直角，则|F1F2|2|P
2、F1|2|PF2|2.所以有解得|PF1|4，|PF2|2，所以2.探究二 求椭圆的标准方程解决求椭圆的标准方程问题主要是“定位”与“定量”：“定位”是要确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解【典型例题2】 求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)思路分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，要注意“定位”与“定量”解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0
3、)所以2a10.所以a5，所以a225.又c4，所以b2a2c225169.所以所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，因为点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，所以解得所以所求椭圆的标准方程为1.点评：已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，且mn)的形式有两个优点：(1)列出的方程组中分母不含字母；(2)不用讨论焦点所在的坐标轴探究三 求与椭圆有关的轨迹方程求与椭圆有关的轨迹方
4、程常用两种方法：(1)定义法，即依据条件确定动点满足的几何等式，联想椭圆的定义来确定(2)代入法，即当问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，可选用代入法求轨迹方程【典型例题3】 如图，已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程思路分析：根据两圆内切的特点，得出|PA|PB|10.由于点A的坐标为(3,0)，点B的坐标为(3,0)，所以点P的轨迹方程是以A，B为焦点的椭圆的标准方程，这就把求点P的轨迹方程的问题转化成了求a2，b2的问题解：设|PB|r.因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10，所以两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|)所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆所以2a10,2c|AB|6，所以a5，c3.所以b2a2c225916，即点P的轨迹方程为1.探究四易错辨析易错点对椭圆的标准方程认识不清【典型例题4】 若方程1表示椭圆，求k的取值范围错解：由得3k5.错因分析：错解中没有注意到椭圆方程中ab0这一条件，当ab时，方程并不表示椭圆正解：由题意，得所以k的取值范围是3k4或4k5.3