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1、金山中学 20162016 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷 （考试时间：120分钟 满分：150 分） 一、填空题（本大题共 1212小题，满分 5454分，其中 1616题每题 4 4 分，712712题每题 5 5 分）考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. . 1 已知向量 a (2,m),b (1,1) ，若向量 a 与b 垂直，则 m 等于_ 2x 1 2 不等式 的解为 _ 0 x 1 3 已知 tan 2， 是第三象限角，则sec 4方程 log2 (1 2 ) 1 x 的解 x _ 1 5函数 的值域是 . f (x) arccos x( x 1) 2 6若
2、点 (4,2) 在幂函数 f (x) 的图像上，则函数 f (x) 的反函数 f 1 (x) = . n 7. 数列 的通项 ，前 项和为 ，则 a an n sin n S S n n 13 2 1 8若数列 a 满足 a a （ nN ）,且 1 1 a ， lima a a 2 0 a ， n n 2 n 2 1 2 n 2 n _. 9设 f x是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x(0,1)， ，则函 f x log 1 x 1 2 数 f x在 (1, 2) 上的解析式是 f (x) 10在 ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c ，下列命题正确的是_
3、1 总存在 某个内角 ，使得 cos ； 2 存在某 钝角 ABC ，有 tan A tan B tanC 0； 若 2a BC b CA c AB 0 ，则 ABC 的最小角小于 6 11如图，在直角梯形 ABCD 中， AB /CD , AB 2, AD DC 1, P BC Q DC DQ DC, 是 线 段 上 一 动 点 ， 是 线 段 上 一 动 点 ， CP (1 )CB, AP AQ 则 的最大值为_ 1 12设数列an是首项为 0 的递增数列，函数 f (x) | sin (x a ) | , xa , a 1满足：对于 n n n n n 任意的实数 m 0,1) ， fn
4、 (x) m 总 有 两 个 不 同 的 根 ， 则 an的 通 项 公 式 是 - 1 - a n 二、选择题（本大题共有 4 4 小题，满分 2020分，每题 5 5 分）每题有且只有一个正确答案，考生 应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑. . 13已知非零向量 a 、b “，函数 f (x) (ax b)2 ”“为偶函数 是 a b ”的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C 充要条件 D既非充分也非必要条件 14将函数 f (x) cosx（其中 0 ）的图象向右平移 个单位，若所得图象与原图象重合， 3 则 f ( )不可能等于 （ ） 24 2 A 0 B1 C
5、 D 2 3 2 15已知各项均不为零的数列a ，定义向量 N 下列 c (a ,a ) ，b (n,n 1) ， n * n n n n n 1 命题中真命题是 ( ) A若对任意的 n N* ，都有 cn /bn 成立，则数列a 是等差数列 n B若对任意的 n N* ，都有 cn /bn 成立，则数列 a 是等比数列 n C若对任意的 n N* ，都有 cn bn 成立，则数列 a 是等差数列 n D若对任意的 n N* ，都有 cn bn 成立，则数列 a 是等比数列 n 16函数 f (x) x3 arctan x 的定义域为 R R，数列 是公差为 的等差数列，若 a d n a1
6、009 m ( 1 ) f (a ) f (a ) f (a ) f (a ) 1 f a ， ， 则 2 3 2016 2017 （ ） A m 恒为负数 B m 恒为正数 C当 d 0 时， m 恒为正数；当 d 0时， m 恒为负 数 D当 d 0 时， m 恒为负数；当 d 0时， m 恒为正数 三、解答题（本大题共 5 5 题，满分 7676分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤. . 17（本题满分 1414分）本题有 2 2 个小题，第一小题满分 6 6 分，第二小题 满分 8 8 分. . 已知| a | 3，| b | 4 ，且 a 与b 的夹角为1
7、200 - 2 - （1）求b 在 a 上的投影； （2）求| 2a 3b | 解： 18（本题满分 1414分）本题有 2 2 个小题，第一小题满分 8 8 分，第二小题满分 6 6 分. . 已知向量 m (sin(2x ) , sin x)， n (1 , sin x) ， f (x) m n . 6 （1）求函数 y f (x) 的最小正周期及单调递减区间； （2）记 ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a , b, c .若 B 2 1 f ( ) ， 2 2 b 5,c 3 ，求 a 的值 解： 19（本题满分 1414分）本题有 2 2 个小题，第一小题满分 8 8
8、分，第二小题满分 6 6 分. . 已知数列 的前 项和为 ， ， a S ，等差数列 满足 a n S a 1 2 1 b b n n n n n 1 1 b 3 3, 5 9 （1）分别求数列a ， 的通项公式； b n n - 3 - （2）若对任意的 n N* ， ( 1) 恒成立，求实数 的取值范围 S k b k n n 2 解： 20（本题满分 1616分）本题有 2 2 个小题，第一小题满分 8 8 分，第二小题满分 8 8 分. . 2 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ， ， BAD ， AD 24， ABC ACD 3 3 2 设 BAC ( ) C 12 6 （1）求
9、 AB （用 表示）； B （2）求 AB BC 的最小值.（结果精确到 0.01米） 解： D A 21（本题满分 1818分）本题有 3 3 个小题，第一小题满分 4 4 分，第二小题满分 6 6 分, , 第二小题满 分 8 8 分. . 给 定 常 数 c 0 ， 定 义 函 数 f (x) 2 | x c 4 | | x c | 数 列 a ， a ， a ， 满 足 1 2 3 a 1 f (a ),n N * n n 1 2 2 3 （1）若 ，求 及 ； a c a a （2）求证：对任意 n N *， a a c ； n 1 n （3）是否存在 ，使得 ， ， ， 成等差数列
10、？若存在，求出所有这样的 ； a a a a a a 1 1 2 3 n 1 - 4 - 若不存在，说明理由 解： 金山中学 20162016 学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案 一、填空题 1 4 2 2 1 x 3 5 4 1 5 (0， ) 6 x2 2 3 （ x 0） 7. 7 81 9 log 1 10 11 12 1 x 27. 7 81 9 log 1 10 11 12 2 n(n 1) 2 二、选择题 13C 14D 15A 16A 三、解答题 17 解： （1） 2 （2） 6 3 - 5 - 3 1 f (x) sin 2x 2 2 18 解：（1） ， 最小
11、正 周期为 ，单调递减区间为 k k 3,k Z ； , 4 4 （2） a 1 3 或 a 1 3 19 解：（1）由 - 得当 时 -， a 1 2S 1 n 2 a 2S 1 n n n n 1 得 ， ； a 1 a 2(S S 1) a 1 3a , n n n n n n 当 n 1时 a a a ， a 3n1 2 2 1 1 3 3 1 n b5 b3 2d 6,d 3,bn 3 (n 3)3 3n 6 ； a (1 qn ) 13n 3n 1 （2） S 1 ， n 1 q 13 2 n N* 2 3 6 ( )k 3n 6 k n N* 3 1 1 n n 对 恒成立， 即
12、 对 恒成立， 2 2 3n 3n 6 3n 6 3n 9 2n 7 令 ， ， c 2 c c n n n n 1 n n 1 n 3 3 3 3 当 n 3时， c c ，当 n 4 时， c c ， n n 1 n n 1 2 (c ) c k 2 ， n max 3 9 9 CDA 6 20 解：（1）三角形 ACD中， ， AD AC ADsin CDA 由 ，得 AC 16 3 sin( ) sin ACD sin CDA sin ACD 6 AB AC 三角形 ABC 中， 由 ，得 ACB 3 sin ACB sin ABC AB 32 sin( ) sin( )( ) 6 3
13、 12 6 （2）三角形 ABC 中， BC AC 由 ，得 sin BAC sin ABC AC sin BAC BC 32 sin( ) sin sin ABC 6 - 6 - 所以 AB BC 32 sin( ) sin( ) 32 sin( ) sin 6 3 6 16sin 2 8 3 2 因为 ，所以 12 6 6 3 所以当 时， 取得最小值 AB BC 88 3 21.86 12 最 小值约为 21.86 米. 21 解：（1）因为 c 0 ， ，故 2 ( 1) 2 | 1 4 | | 1 | 2 ， a c 1 ( 2) a f a a c a c a f a a c a
14、c c 3 ( 1) 2 | 2 4 | | 2 | 10 （2）要证明原命题，只需证明 f (x) x c 对任意 x R 都成立， f (x) x c 2 | x c 4 | | x c | x c 即只需证明 2 | x c 4 | x c | +x c 若 x c 0 ，显然有 2 | x c 4 | x c | +x c=0成立； 若 x c 0 ，则 2 | x c 4 | x c | +x c x c 4 x c 显然成立 综上， f (x) x c 恒成立，即对任意的 n N* ， a a c n 1 n （3）由（2）知，若a 为等差数列，则公差 d c 0 ，故 n 无限增
15、大时，总有 a 0 n n 此时， a 1 f (a ) 2(a c 4) (a c) a c 8 n n n n n 即 d c 8 2 ( 1) 2 | 1 4 | | 1 | 1 8 故 ， a f a a c a c a c 即 ， 2 | a c 4 | a c | a c 8 1 1 1 1 0 n n 当 时，等式成立，且 时， ，此时 为等差数列，满足题意； a c n 2 a 0 a 1 0 1 1 若 ，则 ， a c | a c 4 | 4 a c 8 - 7 - 2 0, 3 8, , n ( 2)( 8) 此时， 也满足题意； a a c a n c 综上，满足题意的 的取值范围是 。 a c,) c 8 1 - 8 -